Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедра технологии машиностроения

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

по дисциплине

«Системный анализ и математическое моделирование

процессов в машиностроении»,

Уфа 2010

Составитель Щипачев А.М.

УДК 519.87:621 (07)

ББК 22.18:34.4 (я7)

Лабораторный практикум по дисциплине «Системный анализ и математическое моделирование процессов в машиностроении» / Сост.: А.М. Щипачев; Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. – Уфа, 2010. – 47 с.

Содержит описание пяти лабораторных работ, посвященных изучению методов математического моделирования при решении технических и технико-экономических задач машиностроения, основанных на математическом программировании, имитационном моделировании, теории массового обслуживания, многокритериальной оптимизации и статистическом моделировании.

Предназначен для студентов направления 651400 (150200) «Машиностроительные технологии и оборудование», специальность 120700 (150206) «Машины и технологии высокоэффективных процессов обработки материалов»

Табл.6 Библиогр.: 20 назв.

Рецензенты: д-р техн. наук, проф. Лютов А.Г.

д-р техн. наук, проф. Селиванов С.Г.

© Уфимский государственный

авиационный технический университет, 2010

Содержание

	вВЕДЕНИЕ.................................................................	4
	ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 Статистическое моделирование................................	5
	ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2 Многокритериальная оптимизация технологических процессов обработки деталей......................................................	14
	ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3 Математическое моделирование в машиностроении на основе линейного программирования..........	21
	ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4 Математическое моделирование функционирования ГПС.......................................................................	32
	ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5 Имитационное моделирование систем массового обслуживания..............................................................	42

Введение

Лабораторный практикум включает пять лабораторных работ по дисциплине «Системный анализ и математическое моделирование процессов в машиностроении». В соответствии с учебным планом специальности «Машины и технологии высокоэффективных процессов обработки материалов» на выполнение лабораторных работ предусмотрено 16 часов.

Трудоемкость выполнения лабораторных работ составляет: №1 – 4 часа, №2 – 4 часа, №3 – 4 часа, №4 – 2 часа, №5 – 2 часа, итого – 16 часов.

В представленных лабораторных работах рассматриваются важные разделы дисциплины: статистическое моделирование (метод Монте-Карло), модели на основе массового обслуживания, имитационное моделирование, методы одно- и многокритериальной структурной оптимизации, модели и оптимизация на основе математического программирования.

Автором были написаны лабораторные работы №№1, 3, 4 и существенно переработаны лабораторные работы №№ 2 и 5 , составленные ранее М.А. Анферовым, Р.К. Давлеткуловым.

Лабораторная работа №1 статистическое моделирование

1.1. Цель работы

Целью работы является ознакомление студентов с возможностями метода статистического моделирования – метода Монте-Карло.

Метод Монте-Карло в лабораторной работе используется для решения двух задач:

- нахождения определенного интеграла функции (цель – получение общих представлений о методе)

- моделирования работы робототехнического комплекса

Работа состоит из двух соответствующих частей, посвященных рассматриваемым задачам.

1.2. Теоретические сведения

Метод Монте-Карло является методом статистического моделирования. Его применение эффективно там, где сложно или невозможно построение аналитической модели. Например, в системах массового обслуживания, не являющихся марковскими системами, в задачах надежности, управления, экономики и т.п., вообще, для сложных систем, которые состоят из большого числа взаимодействующих элементов.

Идея метода заключается в следующем. Вместо того, чтобы описывать процесс с помощью аналитического аппарата (дифференциальных или алгебраических уравнений), производится «розыгрыш» случайного явления с помощью специально организованной процедуры, включающей в себя случайность и дающей случайный результат реализации процесса. Множество реализаций можно использовать как некий искусственно полученный статистический материал, который может быть обработан обычными методами математической статистики и получены интересующие нас статистические характеристики. При моделировании случайных явлений методом Монте-Карло мы пользуемся самой случайностью как аппаратом исследования.

В математике метод Монте-Карло применяется для вычисления интегралов, особенно многомерных, для решения систем алгебраических уравнений высокого порядка и т.п.

Метод Монте-Карло имеет простую структуру вычислительного алгоритма. Как правило, составляется программа для осуществления одного случайного испытания. Затем это испытание повторяется N раз, причем каждый опыт не зависит от всех остальных, и результаты всех опытов осредняются. Поэтому метод Монте-Карло называют также методом статистического моделирования.

Погрешность вычисления метода, как правило, пропорциональна , где D – некоторая постоянная, N – число испытаний. Отсюда видно, что для того, чтобы уменьшить погрешность в 10 раз, нужно увеличить N в 100 раз.

Приведем важное для метода Монте-Карло соотношение:

, (1.1)

где - случайная величина; m – неизвестная искомая величина (статистическую оценку которой необходимо получить); b – среднеквадратичное отклонение случайной величины (одинаково для всех ).

Соотношение (1.1) дает нам метод расчета m и оценку погрешности. В самом деле, найдем N значений случайной величины . Из (1.1) видно, что среднее арифметическое этих значений будет приближенно равно m. С большой вероятностью погрешность такого приближения не превосходит величины . Очевидно, эта погрешность стремится к нулю с ростом N.

В рассматриваемой работе требуется определить среднее время работы РТК. При этом известны интенсивность потока отказов и схема поточной линии.

Известно, что поток отказов подчиняется экспоненциальному (показательному) закону распределения с плотностью распределения

,

где - интенсивность потока отказов (число отказов в сутки); t –последовательности значений продолжительности интервалов между отказами.

Требуется смоделировать случайную величину, распределенную в соответствии с экспоненциальным законом.

Существует основное соотношение, связывающее случайные числа с заданным законом распределения и случайные числа с равномерным законом распределения в интервале [0,1]. Суть его состоит в том, что для преобразования последовательности случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале [0,1] в последовательность случайных чисел с заданной функцией распределения необходимо из совокупности случайных чисел с равномерным законом распределения выбрать случайное число и решить уравнение

относительно x.

Для случая экспоненциального распределения выразим через

. (1.2)

Значения определяем по генератору случайных чисел в MS EXCEL (или другой программе) или по таблице случайных чисел.

Рассмотрим применение метода Монте-Карло для статистической оценки некоторого определенного интеграла

,

где - область в n-мерном пространстве.

В лабораторной работе для простоты вычислений рассматривается определенный интеграл от функции одной переменной

(3)

Требуется найти его статистическую оценку . Задача сводится к оценке отношения площади криволинейной трапеции, соответствующей некоторому определенному интегралу, к площади квадрата, в который этот интеграл может быть вписан, т.е. имеющий координаты: (а, 0), (b, 0), (а, b-а), (b, b-а).

Идея метода заключается в следующем. Выберем пару случайных чисел х: и у: – их можно рассматривать как координаты случайной точки в указанном квадрате. Затем выберем следующую пару чисел и т.д. Когда число выбранных таким образом точек станет достаточно большим, они более-менее равномерно покроют данный квадрат. При этом множество точек N, попавших под кривую , будет пропорционально площади криволинейной трапеции, а множество всех точек M – площади квадрата.

Тогда статистическая оценка искомого интеграла найдется по формуле

, (1.4)

где S – площадь квадрата со стороной b-а.

Погрешность (абсолютная) может быть найдена из разности:

(1.5)