2.2.4. Метод простих ітерацій
При великій кількості невідомих у СЛАР реалізація методу Гауса є досить складною. Тому для знаходження коренів системи інколи зручніше користуватись наближеними числовими методами. Ітераційні методи забезпечують отримання коренів системи із заданою точністю шляхом збіжних нескінченних процесів (наприклад, метод ітерації, метод Зейделя, метод релаксації та інші).
При використанні ітераційних процесів до похибок округлень додається похибка методу.
Крім того, ефективне застосування ітераційних методів істотно залежить від вдалого вибору початкового наближення та швидкості збіжності процесу.
Розглянемо метод простих ітерацій для розв’язування СЛАР.
Спочатку необхідно СЛАР (2.1) привести до нормального вигляду (зручного для ітерації):
З цією метою
розв’яжемо перше рівняння системи
(2.1) відносно
,
друге – відносно
і т. д. Отримаємо систему:
(2.5)
де
,
при
;
,
при
;
;
;
.
Нульове наближення
розв'язку системи (2.5) можна вибрати
довільним. Виберемо, наприклад, стовпчик
вільних членів
.
Далі послідовно побудуємо матриці-стовпці
наступних наближень розв’язку системи
(2.5):
– перше наближення,
– друге наближення
і т.д.
Будь-яке (k + 1)-е наближення обчислюється за формулою:
,
(k = 0,
1, 2, …). (2.6)
У розгорнутому
вигляді
.
Якщо послідовність
наближень
має границю
, (2.7)
то ця границя є розв’язком системи (2.5).
Ітераційний процес
зупиняють, при умові
,
де
– задана абсолютна похибка.
Значно простішою для програмної реалізації є така формула методу простих ітерацій:
. (2.8)
Умови збіжності методу простих ітерацій Нехай задано зведену до нормального вигляду слар
.
Достатня умова збіжності: якщо сума модулів елементів рядків або модулів елементів стовпців матриці α менша 1, то процес ітерації для даної системи збігається до єдиного розв’язку незалежно від вибору вектора початкових наближень.
Необхідна і
достатня умова:
ітераційний метод розв’язування системи
(2.2) є збіжним, якщо модулі діагональних
коефіцієнтів
для кожного рівняння системи більші,
ніж суми модулів решти коефіцієнтів
даного рівняння (не враховуючи вільних
членів).
,
i=1,
2, ..., n.
2.2.5. Метод Зейделя
Розглянемо метод Зейделя для розв'язування СЛАР, що зведена до нормального вигляду (2.5).
Виберемо вектор початкових наближень
(наприклад,
стовпець вільних членів
). Тоді проводимо уточнення значень
невідомих чином:
1) перше наближення:
2) k + 1 наближення:
де k = 0, 1, 2, …, n.
Ітераційний процес
методу Зейделя подібний до методу
простих ітерацій. Відмінним є те, що
уточнені значення
одразу ж підставляються в наступні
рівняння. Отже, ітераційна формула
методу Зейделя:
.
Тобто, метод Зейделя
відрізняється від методу простих
ітерацій тим, що при обчисленні
на (k+1)-му
кроці враховуються значення
,
,
,
обчислені на цьому самому кроці.
З метою економії пам’яті при програмуванні методу Зейделя недоцільно напряму застосовувати подану формулу методу. На відміну від методу простих ітерацій, у методі Зейделя немає необхідності зберігати в пам’яті повністю вектор попередніх наближень розв’язку. Можна застосовувати один вектор, в якому будуть зберігатися останні наближення розв’язків. При цьому для контролю умови завершення ітераційного процесу по кожному з розв’язків можна застосовувати одну й ту ж допоміжну змінну для тимчасового зберігання попереднього наближення чергового розв’язку.
Умова збіжності: метод Зейделя є збіжним, якщо виконується нерівність
, для всіх i=1, 2, ..., n.
і якщо хоча б для одного і ця нерівність строга
.