2.2.2. Чисельні методи розв’язування слар
Для знаходження розв’язків СЛАР на ЕОМ використовують дві групи чисельних методів:
1) точні (метод Гауса, метод Гауса з вибором головного елемента, метод Гауса з одиничною матрицею, метод Гауса з перетвореною матрицею, метод Гауса-Халецького, метод Гауса-Жордана, метод Крамера);
2) наближені (метод послідовних ітерацій, метод Зейделя, метод векторів зміщень тощо).
Точними є методи, які дозволяють отримати точний розв’язок системи (2.1) за відповідну кількість операцій перетворення без урахування похибок заокруглення.
До наближених
(ітераційних)
належать методи, які дозволяють отримати
розв'язок системи (2.1) у вигляді границі
послідовності векторів
,
яка збігається до точного розв’язку
системи, де:
Методом Крамера можна розв’язувати СЛАР будь-якого порядку n. Але зі зростанням n метод стає дуже громіздким, оскільки число арифметичних операцій для обчислення визначника приблизно рівна (n+1)!, а визначників є (n+1).
Можна знаходити розв’язок СЛАР (2.2) при m=n з використанням оберненої матриці А-1. Помноживши зліва рівняння (2.2) на А-1, одержуємо Х=А-1В. Однак за кількістю арифметичних операцій знаходження оберненої матриці не простіше за формули Крамера.
Найпоширенішим обчислювальним методом розв’язування СЛАР є метод, запропонований німецьким математиком Карлом Фрідріхом Гаусом.
Особливості методів Гауса
Найбільш відомим з точних методів розв’язання СЛАР (2.1) є методи Гауса, суть яких полягає в тому, що система рівнянь, яка розв’язується, зводиться до еквівалентної системи з верхньою трикутною матрицею. Невідомі знаходяться послідовними підстановками, починаючи з останнього рівняння перетвореної системи. Алгоритми Гауса складаються із виконання однотипних операцій, які легко формалізуються. Однак, точність результату й витрачений на його отримання час у більшості випадків залежить від алгоритму формування трикутної матриці системи. У загальному випадку алгоритми Гауса складаються з двох етапів:
Прямий хід, в результаті якого СЛАР (2.1), що розв'язується, перетворюється в еквівалентну систему з верхньою трикутною матрицею коефіцієнтів виду:
(2.3)
Зворотний хід дозволяє визначити вектор розв‘язку починаючи з останнього рівняння системи (2.3) шляхом підстановки координат вектора невідомих, отриманих на попередньому кроці.
Відомо декілька різних алгоритмів отримання еквівалентної системи з верхньою трикутною матрицею.
2.2.3. Метод Гауса з послідовним виключенням невідомих
Розглянемо базовий
метод Гауса для розв'язування системи
(2.1). Цей метод полягає
в послідовному
виключенні невідомих із системи.
Припустимо, що
.
Послідовно помножимо перше рівняння
на
і додамо з і-м
рівнянням. Таким чином виключимо
зі всіх рівнянь системи. Отримаємо:
Аналогічно виключимо
з отриманої системи. Послідовно виключивши
всі невідомі до
,
отримаємо систему трикутного вигляду:
(2.4)
Виконання описаної
вище процедури прямого ходу можливе
при умові, що всі
,
не дорівнюють нулю.
У результаті зворотного ходу методу Гауса, виконуючи послідовні підстановки (починаючи з останнього рівняння) в системі (2.4), отримаємо всі значення невідомих:
.
Метод Гауса може бути легко реалізований на комп'ютері. Цей метод та його модифікації вирізняються меншою кількістю арифметичних дій, приблизно рівною n3. Однак, один з основних недоліків методу Гауса пов'язаний з тим, що при його реалізації накопичуються обчислювальні похибки, які спотворюють розв’язок великих погано обумовлених СЛАР.
Для вирішення цієї проблеми був створений метод QR-розкладу, що майже усунув ці похибки.
Однією з найбільш поширених модифікацій методу Гауса є метод LU-розкладу, що полягає у розкладі матриці СЛАР на добуток двох матриць, нижньої трикутної L та верхньої трикутної U: A=LU. Тоді систему AX=B розв’язують у два етапи: спочатку розкладають матрицю А на добуток LU (прямий хід методу Гауса), а потім послідовно розв’язують системи LY=B та UX=Y (зворотний хід).
QR-розклад полягає у розкладі матриці А на добуток дійсної ортогональної матриці Q і верхньої трикутної R. Поетапний розв’язок системи AX=B виконують так: спочатку обчислюють Y=QтB, а потім розв’язують систему RX=Y. QR-розклад є складнішим, ніж LU-розклад, а погано обумовлені системи не так часто зустрічаються.
Для того, щоб зменшити зростання обчислювальної похибки застосовуються різні модифікації методу Гауса. Наприклад, метод Гауса з вибором головного елемента по стовпцях, в цьому випадку на кожному етапі прямого ходу рядка матриці переставляються таким чином, щоб діагональний кутовий елемент був максимальним. При виключення відповідного невідомого з інших рядків поділ буде вироблятися на найбільший з можливих коефіцієнтів і отже відносна похибка буде найменшою.