Міністерство освіти і науки України

Національний університет водного господарства та природокористування

Кафедра автоматизації, електротехнічних та комп'ютерно-інтегрованих технологій

04-03-

Методичні вказівки

до виконання лабораторної роботи № 3

з дисципліни «Числові методи» студентами за напрямом підготовки 6.050202 "Автоматизація та комп'ютерно-інтегровані технології" денної та заочної форм навчання

Рекомендовано методичною

комісією за напрямом «Автоматизація та комп'ютерно-інтегровані технології»

Протокол № __ від _____ 2015 р.

Рівне – 2015

Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи № 3

з дисципліни «Числові методи» студентами за напрямом підготовки 6.050202 "Автоматизація та комп'ютерно-інтегровані технології" денної та заочної форм навчання / В. М. Кутя, А. П. Сафоник. – Рівне: НУВГП, 2015. – 13 с.

Упорядники: В. М. Кутя – ст. викладач кафедри автоматизації, електротехнічних та комп'ютерно-інтегрованих технологій;

А. П. Сафоник – доцент кафедри автоматизації, електротехнічних та комп'ютерно-інтегрованих технологій, к.т.н.

Відповідальний за випуск: В. В. Древецький, д.т.н., професор, завідувач кафедри автоматизації, електротехнічних та комп'ютерно-інтегрованих технологій.

© В. М. Кутя, А. П. Сафоник, 2015

© НУВГП, 2015

Лабораторна робота №3

Чисельне розв'язування систем нелінійних алгебраїчних рівнянь

3.1. Мета роботи

Ознайомитися з чисельними методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Навчитися знаходити розв'язки СЛАР точними та наближеними методами.

3.2. Теоретичні відомості

3.2.1. Загальні відомості

Нехай необхідно знайти розв'язок системи нелінійних рівнянь (СНР):

(3.1)

де f₁, f₂, ..., f_n – задані нелінійні функції від n невідомих; x₁, x₂, ..., x_n – невідомі.

Введемо n-вимірні вектори:

Тоді систему (3.1) можна записати у вигляді:

. (3.2)

3.2.2. Метод Ньютона

Введемо матрицю Якобі (якобіан) для системи рівнянь (3.1):

.

Тоді ітераційний процес методу Ньютона для розв'язання системи (3.1) буде:

, (3.3)

де k=0, 1, 2, ...

У певному невеликому околі розв'язку ітераційний процес класичного методу Ньютонає (3.3) є збіжним, якщо існує обернена матриця , тобто

.

Якщо початкове наближення вибране достатньо близько до розв'язку СНР, то ітераційний процес (3.3) збігається з квадратичною швидкістю.

Недоліком методу Ньютона є досить велика трудомісткість, оскільки на кожному кроці ітераційного процесу потрібно знайти обернену матрицю Якобі.

3.2.3. Метод простих ітерацій

Систему рівнянь (3.1) зведемо до еквівалентного вигляду:

, (3.4)

де

Тоді запишемо формулу методу простих ітерацій:

, k=0, 1, 2, ... (3.5)

Якщо існує границя , то є розв'язком системи (3.4).

Сформулюємо умови збіжності методу без доведень та теоретичного обґрунтування.

Нехай вектор-функція має неперервні частинні похідні в деякому околі  розв'язку .

Введемо матрицю M з елементами:

.

Для того, щоб формула (3.5) методу простих ітерацій була збіжною необхідно, щоб норма матриці M була меншою від одиниці. Тобто повинна виконуватись одна з умов:

, або , або .

У свою чергу, ці нерівності будуть справедливими при виконанні умови:

i=1, 2, ..., n.