Введение

Оптимизационный подход к постановке и решению задач является важным резервом повышения качества планирования и управления в задачах принятия решений. Инженеры и специалисты, ответственные за принятие решений, на практике все чаще встречаются с разнообразными в содержательном смысле задачами оптимизации. Это связано с тем, что с развитием производства, рынка и конкуренции на нем все больше ужесточаются требования, предъявляемые к приемлемому проекту. В других областях деятельности, таких как проектирование космических кораблей, уже сами условия функционирования проектируемых систем предъявляют экстремальные требования к характеристикам проекта. Таким образом, в принятии решений существует очевидная потребность в решении следующих важных вопросов. Каково наиболее эффективное использование имеющихся ресурсов? Можно ли получить экономный в том или ином смысле проект? В каких пределах можно считать риск допустимым? Важность и актуальность этих проблем принятия решений требует разработки и исследования моделей и методов оптимизации.

1 Постановка задачи

Фирма по выпечке хлебобулочных изделий имеет ограниченное количество сырья. Из этого сырья фирма может изготовить 5 видов хлебобулочных изделий. Изделия имеют различные нормы расхода сырья и различную цену реализации.

Составить план выпуска изделий с максимальной суммарной прибылью.

Введём обозначения:

−затраты -го сырья на изготовление 1 единицы-го хлебобулочного изделия;

−запас -го сырья;

−прибыль от продажи 1 единицы -го хлебобулочного изделия;

.

2 Математическая модель

Выберем переменные данной задачи:

- единица продукции вида ;

Математическая модель рассмотренной задачи о максимальной суммарной прибыли от продажи хлебобулочных изделий имеет вид:

максимизировать

при условиях:

−целые;

3 Выбор метода решения

Для решения задачи будем использовать прямой симплекс-метод. Исходя из условия, что − целые, воспользуемся методом Гомори.

3.1 Прямой симплекс-метод

Шаг 0. Подготовительный этап. Приводим задачу ЛП к специальной форме (15).

Шаг 1.Составляем симплекс-таблицу, соответствующую специальной форме:

	B		…		…
L			…		…
			…		…
..	..	…………
			…		…
..	..	…………
			…		…

Заметим, что этой таблице соответствует допустимое базисное решение задачи (15). Значение целевой функции на этом решении

Шаг 2.Проверка на оптимальность.

Если среди элементов индексной строки симплекс – таблицы нет ни одного положительного элемента то, оптимальное решение задачи ЛП найдено:.Алгоритм завершает работу.

Шаг 3.Проверка на неразрешимость.

Если среди есть положительный элемент, а в соответствующем столбценет ни одного положительного элемента, то целевая функцияLявляется неограниченной снизу на допустимом множестве. В этом случае оптимального решения не существует. Алгоритм завершает работу.

Шаг 4.Выбор ведущего столбцаq.

Среди элементов выбираем максимальный положительный элемент. Этот столбец объявляем ведущим (разрешающим).

Шаг 5.Выбор ведущей строки p.

Среди положительных элементов столбца находим элемент, для которого выполняется равенство:

Строку pобъявляем ведущей (разрешающей). Элемент объявляем ведущим (разрешающим).

Шаг 6.Преобразование симплексной таблицы.

Составляем новую симплекс-таблицу, в которой:

а) вместо базисной переменной записываем, вместо небазисной переменнойзаписываем;

б) ведущий элемент заменяем на обратную величину ;

в) все элементы ведущего столбца (кроме ) умножаем на ;

г) все элементы ведущей строки (кроме ) умножаем на;

д) оставшиеся элементы симплексной таблицы преобразуются по следующей схеме «прямоугольника».

Из элемента вычитается произведение трех сомножителей:

первый - соответствующий элемент ведущего столбца;

второй - соответствующий элемент ведущей строки;

третий - обратная величина ведущего элемента .

Преобразуемый элемент и соответствующие ему три сомножителя как раз и являются вершинами «прямоугольника».

Шаг 7.Переход к следующей итерации осуществляется возвратом к шагу 2.