Спектральний аналіз періодичних сигналів

Нехай - періодичний сигнал з періодом Т. Якщо він описується неперервною або кусочно-неперервною функцією, то його можна подати у вигляді ряду Фур'є

, (1)

, (2)

де - основна гармоніка.

Коефіцієнти називають частотним спектром,

- амплітудним спектром,

- фазовим спектром.

Нехай , . Тобто, пряме ДПФ наближає (за формулою чисельного інтегрування прямокутників) коефіцієнти розкладу сигналу в ряд Фур'є: , .

Рівність Парсеваля тут має вигляд:

При збільшенні , зменшенні , похибка (методу) такого представлення зменшується. Подібне має місце і при оберненому перетворенні, тобто наближенні сигналу відрізком ряду Фур'є, коли обмежуються границі підсумування в формулі (1).

Поняття нормованої частоти

Нормованою частотою називається відношення поточної частоти до частоти дискретизації. Тобто:

Таким чином, залежно від обраної шкали частот, основна смуга відповідає областям: ; ; ; .

Інверсія спектру дійсного сигналу

Мета інверсії спектральних складових в тому, що в основній смузі частот довільна складова спектру (тут мається на увазі нормована частота) повинна виявитися на «протилежній» частоті - (відбитися). При цьому у аргументу спектра додатково змінюється знак. Це ілюструється рисунком, наведеним далі.

Операція інверсії спектру реалізовується за допомогою зсуву вправо на частоту .

ЗАВДАННЯ

Отримати аналітичні вирази для знаходження частотного спектру заданого варіантом сигналу (рівність (2)).
Обрахувати 256 спектральних коефіцієнтів та привести таблицю їх значень.
Привести графік зміни спектру для заданої кількості коефіцієнтів.
Порівняти (в табличному та графічному вигляді) отримані значення з результатами, обрахованими в лабораторній роботі №3.
Пояснити різницю між коефіцієнтами ряду Фур’є та дискретного перетворення Фур’є.
Відтворити вхідну послідовність за допомогою наближення рядом Фур’є (рівність (1)) для 256 коефіцієнтів та привести її графік.
Порівняти вхідну та наближену послідовності.
Обрахувати амплітудну, фазову характеристики та привести їх графіки.
Знайти енергію сигналу за формулою Парсеваля.
Здійснити операцію інверсії спектру.
За допомогою оберненого ПФ знайти сигнал, що відповідає оберненому спектру та порівняти його із заданим. Пояснити характер змін.
Зробити висновки про спектральні характеристики заданого сигналу.