Міністерство освіти і науки України Національний Університет “Львівська Політехніка”

Кафедра ЕОМ

Дослідження дискретного перетворення фур’є та його властивостей

Методичні вказівки до розрахункової роботи

з дисципліни “Цифрова обробка сигналів”

для студентів спеціальності “Комп’ютерні системи і мережі”

Затверджено на засіданні кафедри Електронних обчислювальних машин Протокол № від року

Львів – 2015

Дослідження дискретного перетворення Фур’є та його властивостей: Методичні вказівки до розрахункової роботи з дисципліни “Методи та засоби опрацювання сигналів” для студентів спеціальностей "Системне програмування", / Укладачі: Є. Ваврук, О Лашко – Львів: Національний університет “Львівська політехніка”, 2013, 20 с.

Укладачі: Є. Ваврук, к.т.н., доцент.

О. Лашко, ст. викладач.

Відповідальний за випуск: Мельник А. О., професор, завідувач кафедри

Рецензенти: Парамуд Я.С., к. т. н, доцент

Попович Р.Б., к. т. н, доцент

Мета роботи:

освоїти методику обчислення спектральних характеристик сигналу за допомогою перетворення Фур’є та дослідити його властивості.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Одним з основних методів частотного аналізу й обробки сигналів є перетворення Фур’є. Розрізняють поняття “перетворення Фур’є” і “ряд Фур’є”. Перетворення Фур’є припускає неперервний розподіл частот, ряд Фур’є задається на дискретному наборі частот. Сигнали також можуть бути задані в наборі часових відліків або як неперервна функція часу. Це дає чотири варіанти перетворень

• перетворення Фур’є з неперервним або з дискретним часом (частота - неперервна);

• ряд Фур’є з неперервним часом або з дискретним часом (частота - дискретна).

Інтегральне перетворення Фур’є (пф).

Пряме перетворення (Фур’є- аналіз) :

або:

Обернене перетворення (Фур’є- синтез) :

або:

Вони виконуються коли функція є повністю інтегрованою, тобто сигнал має скінчену енергію :

Для реальних систем це очевидно, оскільки не можливо згенерувати сигнал, який має нескінчену енергію.

Дискретне перетворення Фур’є(дпф)

Пряме:

для

де : .

Обернене:

для .

Розкриємо зв’язок між дискретним та інтегральним перетворенням Фур’є для формул аналізу.

Обмежившись сіткою для : , тобто: можемо записати:

EMBED Equation.3

Таким чином, формула зв’язку буде мати вигляд:

Збільшуючи зменшуємо похибку. При цьому необхідно зменшувати , тобто збільшувати роздільну здатність по частоті (при цьому збільшується і кількість відліків).

Спектральний аналіз неперіодичних сигналів.

Для неперіодичного сигналу спектральне подання описується парою інтегральних перетворень

, (пряме),

, (обернене).

При цьому має місце рівність Парсеваля :

.

Нехай для і і одночасно для . Покладемо , , . Тоді для наближеного обчислення , використовуючи формулу чисельного інтегрування прямокутників, отримуємо вираз:

, .

Таким чином, для обчислення спектру неперіодичного сигналу (з кроком у смузі ( )) можна скористатися формулою ДПФ і, як наслідок, алгоритмами ШПФ. Для підвищення роздільної здатності (зменшення в раз) потрібно фактично чи формально (для фінітних сигналів, що рівні нулю при ) збільшити (в раз), доповнивши послідовність нульовими відліками: при і при . Для розширення смуги аналізу в раз зменшуємо (збільшуємо в раз ).