1) Дисперсия постоянной величины равна нулю;

2) Если все варианты значений признака уменьшить на одно и то же число, то дисперсия не уменьшится;

3) Если все варианты значений признака уменьшить в одно и то же число раз, то дисперсия уменьшится в а2 раз.

Дисперсия представляется в квадратах единиц, в которых измеряется регистрируемый признак, что делает ее интерпретацию довольно затруднительной. Эту проблему можно преодолеть, рассчитав среднее квадратическое отклонение, которое представляет собой корень квадратный из дисперсии.

Размах вариации, среднее линейное и среднее квадратическое отклонения являются величинами именованными. Они имеют те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение — наиболее широко применяемые показатели вариации. Объясняется это тем, что они входят в большинство теорем теории вероятностей, служащих фундаментом математической статистики. Кроме того, дисперсия может быть разложена на составные элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов, обусловливающих вариацию признака. Дисперсия используется для построения показателей тесноты корреляционной связи, при оценке результатов выборочных наблюдений и т.д.

Относительные показатели вариации

При сравнении колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различной величиной средней арифметической пользуются относительными показателями вариации. Эти показатели вычисляются как отношение абсолютных показателей вариации к соответствующей характеристике центра распределения — средней арифметической или медиане. Используя в качестве абсолютного показателя вариации размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение и квартильное отклонение, получим относительные показатели колеблемости (чаще всего они выражаются в процентах):

Коэффициент осцилляции:

Относительное линейное отклонение:

Коэффициент вариации:

Относительный показатель квартальной вариации:

Наиболее часто применяемый показатель относительной колеблемости — коэффициент вариации. Его используют не только для сравнительной оценки вариации разных признаков или в различных совокупностях, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких нормальному).

Расчет дисперсии в ряде случаев является затруднительным, поэтому логично, используя свойства дисперсии, упростить ее расчеты. Применяют два способа для упрощенного расчета дисперсии: способ отсчета от условного нуля и способ моментов.

По первому способу: ,

где к-интервал,

А-условный нуль, в качестве которого удобно использовать середину интервала с наибольшей частотой.

По второму способу:

,

где к-интервал,

m₁= ; m₂=

Покажем расчет дисперсии разными способами на примере распределения пользователей услуг связи по уровню среднемесячных расходов на услуги связи х (табл.5)

x	f	x·f		( )2	( )2f	x2	x2f				f
140	40	5600	-22	484	19360	19600	784000	-2	-80	4	160
150	100	15000	-12	144	14400	22500	2250000	-1	-100	1	100
160	160	25600	-2	4	640	25600	4096000	0	0	0	0
170	120	20400	8	64	7680	28900	3468000	1	120	1	120
180	80	14400	18	324	25920	32400	2592000	2	160	4	320
Итого	500	81000	–	–	68000	–	13190000	-	100	–	700

Средние расходы пользователей на оплату услуг в месяц составляют:

=81000/500=162 руб.

обычный способ расчета дисперсии =68000/500=136;

отсчет от условного нуля

В качестве условной величины принят серединный вариант А=160, к=10

=(700·100/500)-(162-160)²=140-4=136

способ моментов

m₁= =100/500=0,2; m₂= =700/500=1,4

=100(1,4-0,04)=136

Среднее квадратическое отклонение равно руб. коэффициент вариации 11,7·100/162=7,2%, что свидетельствует об однородности совокупности пользователей услуг связи по уровню среднемесячных расходов на их оплату.

Расчеты дисперсии разными способами дают одинаковые результаты, что позволяют исследователю выбрать наиболее эффективный способ.