Рекомендации к составлению математических моделей

Для использования стандартных вычислительных алгоритмов ЛП требуется математическая запись модели. Таким образом, необходимо умение переводить словесное описание задачи на язык математических символов.

Составление математической модели начинают с выбора переменных, совокупность числовых значений которых однозначно определяет один из вариантов процесса. Следует иметь в виду, что иной раз от удачного выбора этих переменных зависит простота модели и, следовательно, удобство дальнейшего ее анализа.

После выбора переменных необходимо составить ограничения по тексту задачи, которым эти переменные должны удовлетворять. При этом нужно следить, чтобы в модель были включены все ограничительные условия и в то же время не было ни одного лишнего или записанного в более жесткой, чем требуется условиями задачи, форме.

Наконец, составляется целевая функция, которая в математической форме отражает критерий выбора лучшего варианта.

После составления математической модели необходимо рассмотреть

возможные пути ее упрощения и выбрать подходящий вычислительный метод для решения задачи.

Математическая модель

Пусть xj – хлебобулочные изделия. Обозначим через cj;j= 1.5 стоимость единицыj продукта.aij– видов сырья,вj= 1.8 – ограничение на сырье

j= 1.5 – видов хлебобулочных изделий i= 1.m– видов сырья

Требуется составить план выпуска изделий с максимальной суммарной прибыль.

X1- булочки смаком

X2- булочки с орехами

X3- «веснушки»

X4- булочки с сахаром

X5- булочки с повидлом

a1j- количество муки 1-го сорта гр./ шт

a2j- количество муки 2-го сорта гр./ шт

a3j- количество дрожжей гр./ шт

a4j- количество мака гр./ шт

a5j- количество орехов гр./ шт

a6j- количество сахара гр./ шт

a7j- количество повидла гр./ шт

a8j- количество молока гр./ шт

вj= 1.8 – ограничение на сырье

cj;j= 1.5- цена реализации

Составим ограничения задачи. Ограничения по условию задачи должны иметь ограниченное остаточное количество сырья в1, в2, в3,…………..,в7, в8;

Так как xj – изделия содержитa1j,a2j,a3j,…………….,a7j,a8jколичество продуктов. Значит, общее количество продуктов в одном изделие будет равна сумме

а11Х11+а12Х12+………….+ а1nХ1n

Получим следующее ограничения.

а11Х11+а12Х12+а13Х13+а14Х14+а15Х15< в1

а21Х21+а22Х22+а23Х23+а24Х24+а25Х25< в2

а31Х31+а32Х32+а33Х33+а34Х34+а35Х35< в3

а41Х41+а42Х42+а43Х43+а44Х44+а45Х45< в4 (1)

а51Х51+а52Х52+а53Х53+а54Х54+а55Х55< в5

а61Х61+а62Х62+а63Х63+а64Х64+а65Х65< в6

а71Х71+а72Х72+а73Х73+а74Х74+а75Х75< в7

а81Х81+а82Х82+а83Х83+а84Х84+а85Х85< в8

xj j= 1.5

Нельзя забывать очевидно вытекающие из условий задачи ограничения:

X1>0; X2 >0; X3>0; X4>0; X5>0

Эти ограничения означают, что отрицательное количество продукта x_iне имеет содержательного смысла.

Уходим от условия целочислености, т.к. мы производим булочки, а количество булочек в партии достаточно велико.

Приведем задачу (1) к специальной форме ЛП:

с0+с1Х1+с2Х2+с3Х3+с4Х4+с5Х5 -max

а11Х11+а12Х12+а13Х13+а14Х14+а15Х15+l1 = в1

а21Х21+а22Х22+а23Х23+а24Х24+а25Х25 +l2 = в2

а31Х31+а32Х32+а33Х33+а34Х34+а35Х35+l3 = в3

а41Х41+а42Х42+а43Х43+а44Х44+а45Х45+l4 = в4

а51Х51+а52Х52+а53Х53+а54Х54+а55Х55+l5 = в5

а61Х61+а62Х62+а63Х63+а64Х64+а65Х65+l6 = в6

а71Х71+а72Х72+а73Х73+а74Х74+а75Х75+l7 = в7

а81Х81+а82Х82+а83Х83+а84Х84+а85Х85+l8 = в8

X1>0;X2>0; X3>0; X4>0; X5>0

l1 = в1-(а11Х11+а12Х12+а13Х13+а14Х14+а15Х15)

l2 = в2-( а21Х21+а22Х22+а23Х23+а24Х24+а25Х25)

l3 = в3-( а31Х31+а32Х32+а33Х33+а34Х34+а35Х35)

l4 = в4-( а41Х41+а42Х42+а43Х43+а44Х44+а45Х45) (2)

l5 = в5-( а51Х51+а52Х52+а53Х53+а54Х54+а55Х55)

l6 = в6-( а61Х61+а62Х62+а63Х63+а64Х64+а65Х65)

l7 = в7-( а71Х71+а72Х72+а73Х73+а74Х74+а75Х75)

l8 = в8-( а81Х81+а82Х82+а83Х83+а84Х84+а85Х85)

с1Х1+с2Х2+с3Х3+с4Х4+с5Х5 –max

с0-(-с1Х1-с2Х2-с3Х3-с4Х4-с5Х5) –max

-с0+(-с1Х1-с2Х2-с3Х3-с4Х4-с5Х5) –min

-с0-(с1Х1+с2Х2+с3Х3+с4Х4+с5Х5) –min

Xi>0;Bi>0