3.2. Алгоритм симплекс-метода для задачи на минимум

Шаг 0 Подготовительный этап. Приводим задачу ЛП к специальной форме (15).

Шаг 1 Составляем симплекс-таблицу, соответствующую специальной форме:

	B		…		…
L			…		…
			…		…
..	..	…………
			…		…
..	..	…………
			…		…

Заметим, что этой таблице соответствует допустимое базисное решение задачи (15). Значение целевой функции на этом решении

Шаг 2 Проверка на оптимальность.

Если среди элементов индексной строки симплекс – таблицы нет ни одного положительного элемента то,оптимальное решение задачи ЛП найдено: .Алгоритм завершает работу.

Шаг 3 Проверка на неразрешимость.

Если среди есть положительный элемент, а в соответствующем столбценет ни одного положительного элемента, то целевая функцияL является неограниченной снизу на допустимом множестве. В этом случае оптимального решения не существует. Алгоритм завершает работу.

Шаг 4 Выбор ведущего столбца q.

Среди элементов выбираем максимальный положительный элемент.Этот столбец объявляемведущим (разрешающим).

Шаг 5 Выбор ведущей строки p.

Среди положительных элементов столбца находим элемент, для которого выполняется равенство:

Строку p объявляем ведущей (разрешающей). Элемент объявляем ведущим (разрешающим).

Шаг 6 Преобразование симплексной таблицы.

Составляем новую симплекс-таблицу, в которой:

а) вместо базисной переменной записываем, вместо небазисной переменнойзаписываем;

б) ведущий элемент заменяем на обратную величину ;

в) все элементы ведущего столбца (кроме ) умножаем на ;

г) все элементы ведущей строки (кроме ) умножаем на;

д) оставшиеся элементы симплексной таблицы преобразуются по следующей схеме «прямоугольника».

Из элемента вычитается произведение трех сомножителей:

первый - соответствующий элемент ведущего столбца;

второй - соответствующий элемент ведущей строки;

третий - обратная величина ведущего элемента .

Преобразуемый элемент и соответствующие ему три сомножителя как раз и являются вершинами «прямоугольника».

Шаг 7 Переход к следующей итерации осуществляется возвратом к шагу 2.

3.3. Алгоритм симплекс-метода для задачи на максимум

Алгоритм симплекс-метода для задачи на максимум отличается от алгоритма для задачи на минимум только знаками индексной строки коэффициентов в целевой функции , а именно:

На шаге 2: :

На шаге 3 . Целевая функция является неограниченной сверху на допустимом множестве.

На шаге 4: .

4. Пример решения задачи о раскрое

Нужно найти длину материала для раскройки на изделия с заданной длинной:

• Длина 1-го изделия 3,5;

• Длина 2-го изделия 4,5;

• Длина 3-го изделия 5;

Зададим ассортимент:

• Количество 1-го изделия 2шт.

• Количество 2-го изделия 1шт.

• Количество 3-го изделия 1шт.

Построим таблицу в которой указаны способы раскройки материала для заданного ассортимента и длины изделий.

Таблица 1 – Возможные варианты раскроя материала.

Способ раскроя	Раскрой (Длина матер.=10м)	Разница раскроя	Материал
1	5 : 5	0	X1
2	5 : 3,5	1,5	X2
3	5 : 4,5	0,5	X3
4	4,5 : 4,5	1	X4
5	4,5 : 3,5	2	X5
6	3,5 : 3,5	3	X6

Где xi- количество материала i-го раскроя.

Сразу видно, что для нашей задачи оптимальным будет материал длиной 16,5 метров для заданного ассортимента, так как: 3,5 + 3,5; +4,5; +5 = 16,5, то есть идёт полный расход материала, что оптимизирует нашу задачу.

2x1+x2+x3

x3+2x3+x5

x2+x5+2x6

x2+x5+2x6=2(x3+2x3+x5)

x2+x5+2x6=2(2x1+x2+x3)

из этого следует что разница раскроя, т.е. количество оставшегося материала стремитья к минимуму, а значит число изделий для заданного материала максимально.

1.5x2+0.5x3+x4+2x5+3x6 min (9)