3Численные эксперименты
3.1 Алгоритм программы
3.2 Описание программы
Данная программа предназначена для решения задачи целочисленного линейного программирования. В не реализован метод Гомори.
Рисунок 1
Инструкция пользователя:
В поле ввода «Целевая функция» (рис. 1) ввести целевую функцию.
В поле ввода «Ограничения» ввести ограничения.
При нажатии на клавишу «Решение» в окне выводится решение и результат.
3.3 Анализ численных экспериментов
3.3.1 Содержательный анализ
Математическая форма записи задачи выглядит следующим образом:
Рассмотрим пример:
Введем обозначения: 
Тогда математическая модель примет
следующий вид:
После того, как задача выписана в специальной форме, можно записать симплекс-таблицу.
-
b
L
0
20
40
20
40
3
2
1
0
0
2
0
0
2
1
6
3
4
0
0
4
0
0
3
4
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
Решаем ее симплекс методом:
|
|
|
|
Таблица оптимальна, но не целочисленная, решаем задачу методом Гомори. Строим отсечение по строке 1, и решаем двойственным симплекс методом.
|
|
Таблица снова оптимальна, но нецелочисленна. Поэтому строим еще одно отсечение по строке 2, и решаем двойственным симплекс-методом.
|
|
Т. к. все базисные переменные положительны
и целочисленные, то симплекс-таблица
оптимальна:
Отсюда следует, что максимальный экономический эффект равен 80, на первый и на второй компьютеры были установлена вторая функция.
Для решения задач целочисленного линейного программирования была написана программа, реализующая алгоритм метода отсечений Гомори.
4.3.2 Анализ на чувствительность
Проведем анализ на чувствительность задачи линейного программирования:
После приведения задачи к специальной форме, решаем ее прямым симплекс-методом:
|
|
|
Переменные
- основные,
- дополнительные.
Получили
оптимальное решение данной задачи ЛП
.
Построим двойственную задачу по отношению к исходной:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Двойственную задачу решаем двойственным симплекс-методом:
|
|
|
Переменные
- свободные,
- дополнительные.
Оптимальное
решение двойственной задачи
.
Оптимальные значения целевых функций взаимно-двойственных задач равны:
Установим соответствие между первоначальными (основными) переменными одной из двойственных задач и дополнительными переменными другой задачи (табл.1).
Таблица 1
|
Компоненты оптимального решения исходной задачи | |||||
|
Устанавливаемые функции |
Остатки ресурсов | ||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Превышение затрат на ресурсы над ценой реализации |
Объектно обусловленные оценки ресурсов | ||||
|
Компоненты оптимального решения двойственной задачи | |||||
Компоненты оптимального решения двойственной задачи являются объектно обусловленными оценками исходной задачи.
Ресурсы
,
по оптимальному плану полностью
использованы (
,
),
и объективно обусловленные оценки этих
ресурсов ненулевые (
,
).
Ресурс
не полностью использован в оптимальном
плане (
)
и его объективно обусловленная оценка
нулевая (
).
Объективно обусловленные оценки ресурсов определяют степень дефицитности ресурсов: по оптимальному плану производства дефицитные ресурсы получают ненулевые оценки, а недефицитные – нулевые.
По
третьей теореме двойственности
.
,
если
,
то
Аналогично
,
,
.
Объектно обусловленные оценки показывают на сколько максимальный экономический эффект от реализации функций при изменении объема соответствующего ресурса на одну единицу.
Определим расчетные нормы заменяемости ресурсов.
Предположим,
что объемы ресурсов
,
,
,
,
равные первоначально 3, 1, 1, 1 единиц,
изменились соответственно на величины
,
,
,
,
тогда
)
.
,
После преобразований получаем:
Для сохранения оптимального решения двойственной задачи достаточно, чтобы коэфициенты при неосновных переменных оставались неотрицательными:
Предположим, что
изменяется только объем первого ресурса,
а остальные объемы ресурсов остаются
неизменными:
,
.
Тогда значение
.
аналогично находим
пределы изменений 
,
,
.
Тогда
∞
∞
∞
Если объемы ресурсов изменять в этих пределах, то оптимальное решение двойственной задачи остается прежним.
Список Литературы
Дегтярев Ю.И. Исследование операций. - М.: Высшая школа, 1986. – 224с.
Зайченко Ю.П. Исследование операций. - Киев: Высшая школа, 1979.
Методика по математическому программированию в электронном виде.