1.6 Задания по теории игр

Решить игру с платежной матрицей:

1.1		1.2
1.3		1.4
1.5		1.6
1.7		1.8
1.9		1.10
1.11		1.12
1.13		1.14
1.15		1.16
1.17		1.18
1.19		1.20
1.21		1.22
1.23		1.24
1.25		1.26
1.27		1.28
1.29		1.30

2. Задача о назначениях

2.1 Содержательная постановка

Задано nразличных работ, каждую из которых может выполнять любой изnисполнителей. Эффективность при выполнении работыiисполнителемjравна. Требуется распределить исполнителей по работам, т.е. назначить одного исполнителя на каждую работу таким образом, чтобы максимизировать суммарную эффективность.

Формально задача о назначениях может быть сформулирована так. Необходимо выбрать из каждой строки и каждого столбца матрицы

ровно по одному элементу (всего nэлементов) так, чтобы их сумма была наибольшей. Такая задача называется задачей выбора.

2.2 Математическая модель

Для каждой i-й работы (i=1,…,n) и для каждогоj-го исполнителя (j=1,…,n) введем переменнуюкоторая может принимать всего два значения (0 или 1):

Тогда суммарная эффективность выполнения всех работ выражается функцией:

.

Ограничения задачи:

, (2.1)

(2.2)

интерпретируются следующим образом. Уравнения (2.1) означают, что каждая i-я работа выполняется ровно один раз. Уравнения (2.2) предъявляют требования к каждомуj-му исполнителю: каждыйj-й исполнитель выполняет ровно одну работу.

Таким образом, математическая модель задачи о назначениях является задачей целочисленного линейного программирования вида

(2.3)

при ограничениях (2.1), (2.2) и

, (2.4)

–целочисленные,. (2.5)

Нетрудно видеть, что модель (2.1)-(2.4) является частным случаем классической транспортной задачи, в которой число поставщиков совпадает с числом потребителей (=n), а запасы и потребности всех пунктов совпадают и равны единице.