Преобразование графиков Параллельный перенос

График функции y=f(x)+B получается параллельным переносом графика функции y=f(x) в положительном направлении вдоль оси Оу на расстояние В, если В>0 и в отрицательном направлении вдоль оси Оу, если B<0.

График функции y=f(x+b) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) в положительном направлении вдоль оси Оx на расстояние b, если b<0 и в отрицательном направлении вдоль оси Оx, если b>0.

Отображение

График функции y=-f(x) получается симметричным отображением графика y=f(x) относительно оси Ох.

График функции y=f(-x) получается симметричным отображением графика y=f(x) относительно оси Оу.

Деформация (растяжение и сжатие) графика

График функции y=Af(x), получается растяжением графика y=f(x) вдоль оси Оу от оси Ох в A раз при A>1 или сжатием вдоль оси Оу к оси Ох в раз при A<1.

График функции y=f(ax), получается сжатием графика y=f(x) вдоль оси Ох к оси Оу в а раз при а>1 или растяжением вдоль оси Ох к оси Оу в раз при а<1.

Отражение

График функции получается из графика функции y=f(x) следующим образом: часть графика функции y=f(x), лежащая над осью Ох и на оси, остается без изменений, а часть графика, лежащая под осью Ох, отражается симметрично относительно оси Ох на верхнюю полуплоскость.

График функции получается из графика функции y=f(x) следующим образом: часть графика функции y=f(x), соответствующая неотрицательным значениям аргумента , остается без изменений, а отрицательным значениям аргумента будет соответствовать график, полученный путем симметричного относительно оси Оy отображения части графика, оставленной без изменений.

Композиция переноса вдоль оси ординат и симметрии относительно оси x

Композиция двух движений на плоскости также является движением. Сейчас мы рассмотрим композицию двух движений: переноса вдоль оси y и симметрии относительно оси x.

Прежде всего отметим, что движения в такой композиции не перестановочны (не коммутируют). Это означает, что их нельзя выполнять в любом порядке.

Работая с графиками функций, требуется точно соблюдать последовательность движений.

В координатном виде эта композиция выглядит так. Перенос вдоль оси на вектор (0, b), как мы помним, характеризуется изменением ординаты на величину b при той же самой абсциссе: точка с координатами (x, y) переходит в точку с координатами (x, y + b). Симметрия относительно оси x характеризуется сменой знака у ординаты точки при той же абсциссе: точка с координатами (x, y + b) переходит в результате такой симметрии в точку (x ₁,y₁) с координатами (x, - y - b). Поэтому в результате композиции этих движений исходная точка с координатами (x, y) переходит в точку (x ₁, y₁) с координатами (x, - y - b): x₁ = x, y₁ = - y - b. Отсюда x = x₁, y = -y₁ – b. Если точка (x, y) является точкой графика функции y = f (x), то выполняется равенство y = f (x). Тогда получаем такое равенство: -y₁ - b = f (x₁), откуда y₁ = - f (x₁) - b.

Окончательно имеем в общем виде такое характерное равенство для композиции переноса на вектор (0, b) и симметрии относительно оси x: y = - f (x) - b или y = - (f (x) + b). Первая запись говорит о такой последовательности действий: сначала симметрия относительно оси x, а затем перенос полученной фигуры вдоль оси y на вектор (0, -b). Вторая запись говорит о такой последовательности действий: сначала перенос вдоль оси y на вектор (0, b), а затем симметрия полученной фигуры относительно оси x.

Наиболее важные задачи на эту композицию относятся к построению графика функции y = - f (x) + b.

Первый способ. Строим график y = f (x), затем график y = - f (x), отражая первый график от оси x, а потом последний график поднимаем или опускаем (в зависимости от знака b) вдоль оси на величину b.

Второй способ. Записываем уравнение окончательной функции в таком виде: y = - (f (x) - b).Строим график y = f (x), затем этот график поднимаем или опускаем (в зависимости от знака b) вдоль оси на величину b, а потом последний график отражаем от оси x.

Напомним, что график функции y =  f (x) получается частично в результате симметрии относительно оси x. Там, где эта функция отрицательна, вместо соответствующей части графика строится ей симметричная относительно оси x.