8.2.2 Методы порядка точности 1.5

Рассмотрим двухпараметрическое семейство неявных одношаговых сильных численных методов порядка точности 1.5 [86]:

Рис. 8.9. Результат численного эксперимента 8.5 при

Рис. 8.10. Результат численного эксперимента 8.6 при

Вариант численного метода (8.4), основанный на унифицированном разложении Тейлора-Ито, имеет следующий вид:

Численный эксперимент 8.5 (рис. 8.9). Повторить численный эксперимент 8.1 для неявного сильного численного метода порядка точности 1.5 вида (8.5) при . При этом не моделировать те по­вторные стохастические интегралы Ито, коэффициенты перед ко­торыми оказываются равными нулю после применения численного ме­тода (8.5) к уравнению (8.2) и приведения подобных слагаемых.

Численный эксперимент 8.6 (рис. 8.10). Повторить численный эксперимент 8.2 для неявного сильного численного метода порядка точности 1.5 вида (8.5) при . При этом не моделировать повторные стохастические интегралы Ито из условия численного эксперимента 8.5.

Далее будут рассмотрены более точные неявные одношаговые силь­ные численные методы.

8.2.3 Методы порядка точности 2.0

Двухпараметрическое семейство неявных сильных одношаговых численных методов порядка точности 2.0 имеет вид [86]

Рассмотрим вариант численной схемы (8.6), который основан на унифицированном разложении Тейлора-Ито:

Рис. 8.11. Результат численного эксперимента 8.7.

Численный эксперимент 8.7 (рис. 8.11). Повторить численный эксперимент 8.5 для неявного сильного численного метода порядка точности 2.0 вида (8.7) при .

8.2.4 Методы порядка точности 2.5

Для построения неявных сильных одношаговых численных методов порядка точности 2.5 дополним с учетом неявности правые части (8.7) и (8.6) членами из разложения Тейлора-Ито. Таким образом, неявный сильный одношаговый численный метод порядка точности 2.5, осно­ванный на унифицированном разложении Тейлора-Ито, примет вид

Аналог численной схемы (8.8), который основан на разложении Тей­лора-Ито в форме Вагнера и Платена, запишем в следующей форме:

Для реализации численного метода (8.8) на каждом шаге интегри­рования необходимо аппроксимировать 12 различных повторных сто­хастических интегралов, а для реализации численной схемы (8.9) их требуется уже 17.

Численный эксперимент 8.8 (рис. 8.12). Повторить численный эксперимент 8.5 для неявного сильного численного метода порядка точности 2.5 вида (8.8) при .

В заключение данного раздела отметим, что если в (8.3)-(8.9) поло­жить , то из них вытекают рассматривавшиеся ранее явные сильные одношаговые численные методы.

Рис. 8.12. Результат численного эксперимента 8.8.

8.2.5 Метод порядка точности 3.0

В настоящем разделе предлагаем неявную одношаговую сильную численную схему порядка точности 3.0 вида

Численный эксперимент 8.9 (рис. 8.13). Повторить численный эксперимент 8.5 для неявного сильного численного метода порядка точности 3.0 вида (8.10) при .

Рис. 8.13. Результат численного эксперимента 8.9.

8.3 Неявные одношаговые конечно-разностные ме­тоды, основанные на разложениях Тейлора- Ито

В качестве основы для построения неявных сильных одношаговых конечно-разностных численных методов решения стохастических диф­ференциальных уравнений Ито возьмем численные методы, построен­ные в предыдущем разделе, и аппроксимируем конечными разностями частные производные, входящие в их правые части