Розв’язання:

Середній виграш підраховується так:

= 1 + 5 +11 +0 = 1* 0,08 + 5* 0,02 + 10* 0,01 + 0* 0,89 = 0,28 (грн.)

хк	0	1	5	10
Рк	0,89	0,08	0,02	0,01

Тобто, МХ = 0,28 (грн.)

Математичне сподівання використовується для обчислення середніх цін, середнього прибутку.

Вибіркове середнє – це величина = х₁ + х₂ + … + х_к , де відбулося п спостережень і з них величина п₁ набувала значень х₁, і т.д. Тобто, - відносна частота значень випадкової величини.

п_к / п р_к, тоді МХ.

Основні властивості математичного сподівання:

Властивість 1: Для довільної випадкової величини Х і довільного числа с виконується рівність М (сХ) = с М(Х).

Властивість 2: Математичне сподівання сталої величини с дорівнює сталій с Мс = с.

Властивість 3: Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань цих величин

М(Х + Y) = МХ + М Y.

Задача 5. В цеху встановлено два різних верстати, які виготовляють однакові деталі. Кількість бракованих виробів, що можуть виготовити ці верстати за добу мають відповідні закони розподілу:

хк	0	1	2	3
Рк	0,6	0,2	0,15	0,05

хк	0	1	2	3
Рк	0,5	0,25	0,2	0,05

1) Знайти середню кількість бракованих деталей, що виготовляє перший верстат за 10 діб; 2) Яким є середня кількість виготовлених цехом за добу бракованих деталей?

Розв’язання:

1) МХ = 0*0,65 + 1*0,2 + 2*0,15 + 3*0,05 = 0,2 + 0,3 + 0,15 = 0,65;

За 10 діб перший верстат виготовляє 10Х бракованих деталей – М (10Х) = 10МХ = 10* 0,65 = 6,5(дет.)

2) М (Х + Y) = МХ + М Y; М Y = 0*0,5 + 1*0,25 + 2* 0,2 + 3* 0,05 = 0,25 + 0,4 + 0,15 = 0,8;

М (Х + Y) =0,65 + 0,8 = 1,45.

2. Вибіркові характеристики: дисперсія та середнє квадратичне відхилення випадкової величини.

Для оцінки відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання МХ, вводять іншу числову характеристику випадкової величини - дисперсію.

Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання:

DХ = М ( Х – МХ)²

Дисперсія вимірюється в квадратах тих одиниць, в яких вимірюється сама випадкова величина та її математичне сподівання.

Спрощена формула: DХ = МХ² – (МХ)².

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини називається квадратний корінь з її дисперсії  (х) = .

Властивості дисперсії випадкової величини:

1. D (Х + с) = DХ

2. D (с Х) = с² DХ

3. D с = 0.

Задача 6. Скласти закон розподілу кількості натуральних дільників для чисел від 1 до 10. Знайдіть математичне сподівання та дисперсію закону.

Розв’язання:

Складемо таблицю кількості дільників натуральних чисел:

хк	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Рк	1	2	2	3	2	4	2	4	3	4

Вибір будь-якого числа від 1 до 10 є рівно можливим, тому ймовірність кожного дорівнює 0,1. Об’єднавши результати і додавши їх ймовірності, складемо закон:

хк	1	2	3	4
Рк	0,1	0,4	0,2	0,3

МХ = х₁р₁ + х₂р₂ + … + х_кр_к; DХ = МХ² – (МХ)².

МХ =1*0,1 + 2*0,4 + 3* 0,2 + 4*0,3 = 0,1 + 0,8 + 0,6 + 1,2 = 2,7

хк2	1	4	9	16
Рк	0,1	0,4	0,2	0,3

(МХ)² = (2,7)² = 7,29

МХ² = 0,1 + 1,6 + 1,8 + 4,8 = 8,3;

DХ = 8,3 – 7,29 = 1,01.

Домашнє завдання: опрацювати конспект,

№ 1. Закон розподілу випадкової величини Y = Х² такий:

хк	0	1	4	9
Рк	0,1	0,4	0,4	0,1

Знайти математичне сподівання, дисперсію випадкової величини Х, якщо МХ = 0,1.

[ 8 ] с. 410, № 611. На рис. показано закон розподілу випадкової величини Х.

1. Запишіть закон її розподілу у вигляді таблиці.

2. Знайдіть Р (Х > 1), Р (Х 2), Р (1,5 < Х < 4,1).

хк	- 1	0	2	3
Рк	0,2	0,1	0,1	0,6

[ 8 ] с. 422, № 629. Знайдіть D (2Х + 3), якщо закон розподілу випадкової величини Х має вигляд:

6