План:
Дискретна випадкова величина та закон її розподілу. Незалежні випадкові величини.
Математичне сподівання дискретної випадкової величини.
Вибіркові характеристики: дисперсія, середнє квадратичне відхилення випадкової величини.
1. Дискретна випадкова величина та закон її розподілу. Незалежні випадкові величини.
Сукупність всіх наслідків експерименту, які виключають один одного, називаються простором елементарних подій експерименту (ПЕП).
На практиці часто зустрічаються ситуації, коли величина набуває при кожному експерименті різних значень залежно від випадкових обставин.
Такі величини називають випадковими.
Приклад: Спостереженнями встановлено, що при 100 пострілах стрілець приблизно 20 разів вибиває 8 очок, 50 разів – дев’ять очок, 30 разів – десять очок. Що можна сказати про кількість очок, які вибиває стрілець при двох незалежних пострілах?
Результати |
( 8, 8) |
( 8, 9) |
( 8, 10) |
( 9, 8) |
( 9, 9) |
( 9, 10) |
( 10, 8) |
( 10, 9) |
( 10, 10) |
Кількість очок |
16 |
17 |
18 |
17 |
18 |
19 |
18 |
19 |
20 |
Ця таблиця задає випадкову величину - функцію Х ( и ) в ПЕП.
Випадковою величиною називається числова функція, яка визначена в просторі елементарних подій.
Випадкові величини, як і числові множини, можна додавати, віднімати, множити, …
Таблиця - закон розподілу випадкової величини Х – закон, де кожному значенню х випадкової величини Х ставиться у відповідність ймовірність цієї величини Р(Х):
хк |
х1 |
х2 |
… |
хп-1 |
хп |
Рк |
Р1 |
Р2 |
… |
Рп-1 |
Рп |
Закон розподілу випадкової величини: Р(8,8) = 0,2*0,2 = 0,04:
Р (9,8) = 0,5* 0,2 = 0,1
17 очок при (8,9) та (9,8) - Р (8,9) + Р(9,8) = 0,1 + 0,1= 0,2
-
Кількість очок
16
17
18
19
20
Ймовірність
0,04
0,2
0,37
0,3
0,09
Для перевірки правильності складання закону сума ймовірностей повинна дорівнювати 1.
Задача 1. Випадкова величини Х набуває значень 1, 2, 3, 4, причому
Р (Х = 1) = 0,4; Р (Х = 2) = 0,3; Р (Х = 3) = 0,2.
Знайти: Р(Х = 4), Р (Х > 2), Р (Х
3), Р (1,5 < Х < 3,7).
Розв’язання:
Р (Х = 1) + Р (Х = 2) + Р (Х = 3) + Р (Х = 4) = 1; Р (Х = 4) = 1 - (Р (Х = 1) +
+ Р (Х = 1) + Р (Х = 1) ) = 1 – (0,4 + 0,3 + 0,2) = 1 – 0,9 = 0,1;
Р (Х > 2) = Р (Х = 3 або Х = 4) = Р (Х = 3) + Р (Х = 4) = 0, 2 + 0,1 = 0,3;
Р (Х 3) = Р (Х = 1 або Х = 2 або Х = 3) = Р (Х = 1) + Р (Х = 2) + Р (Х = 3) = 0, 9;
Р (1,5 < Х < 3,7) = Р (Х = 2) + Р (Х = 3) = 0, 5.
Відповідь: Р(Х = 4) = 0,1; Р (Х > 2) = 0,3; Р (Х 3) = 0,9; Р (1,5 < Х < 3,7) = 0,5.
Задача 2. Тривалими спостереженнями встановлено, що біатлоністу потрібно не більше трьох пострілів, щоб влучити в мішень. При цьому із кожних 100 випадків приблизно у 65 випадках достатньо було одного пострілу, у 25 – потрібно було два постріли і лише в 10 випадках знадобилось три постріли.
а) Складіть закон розподілу випадкової величини Х – числа пострілів, необхідних для одного влучення в мішень;
б) Знайдіть Р (Х > 1);
в) Складіть закон розподілу випадкової величини Y = (Х – 1,5)2