2. Циклічні коди. Класичне визначення

Циклічним кодом називається лінійний блоковий (n, m) - код, який характеризується властивістю циклічності, тобто зсув вліво на один крок будь-якого дозволеного кодового слова дає також дозволене кодове слово, що належить цьому ж коду, і в якого безліч кодових слів представляється сукупністю багаточленів ступеня (n – 1) і менш, що діляться на деякий багаточлен Р(x) ступеня k = n – m, що є співмножником двочлена (xⁿ +1). Багаточлен Р(x) називається таким, що породжує чи породжуючим. Як випливає з визначення загальна властивість кодових слів циклічного коду – це їх подільність без залишку на деякий багаточлен Р(x), званий породжуючим. Результатом розподілу двочлена (xⁿ +1) на багаточлен Р(x) є перевірочний багаточлен R(x).

З відомих завадостійких кодів циклічні коди відрізняються високою ефективністю виявлення спотворень і порівняльною простотою реалізації кодуючих і декодуючих пристроїв. Назва цією класу кодів відбулася від їх властивості, що полягає у тому, що якщо кодова комбінація а₀, а₁, а₂,..., а_n-1, а_n, належать коду А, то комбінація а_n, а₀, а₁, а₂,..., а_n-1, одержана циклічний перестановкою елементів, також належить коду А.

Циклічні коди достатньо часто описуються з використанням багаточленів змінної х. Для побудови таких кодів цифри двійкового коду слід розглядати як коефіцієнти багаточлена змінної х. Наприклад, записане в двійковому коді повідомлення 1001101 може бути представлене багаточленом виду

1·х⁶ + 0·х⁵ + 0·х⁴ + 1·х³ + 1·х² + 0·х¹ + 1·х⁰ = х⁶ + х³ + х² + х⁰.

При такому представленні кодів математичні операції з отриманими багаточленами здійснюються відповідно до законів звичної алгебри, за винятком того, що складання здійснюється по модулю 2:

х_а + х_а = 0, х_а + 0 = х_а, 0 + 0 = 0.

Ідея побудови циклічних кодів базується на використанні багаточленів, що не приводяться. Багаточленом, що не приводяться, називається багаточлен, який не може бути представленим у вигляді добутку багаточленів нижчих ступенів, тобто такий багаточлен ділитися тільки на самого себе або на одиницю і не ділитися ні на який інший багаточлен (аналог простих чисел). На такий багаточлен ділитися без залишку двочлен xⁿ +1. Багаточлени, що не приводяться, в теорії циклічних кодів грають роль поліномів, що утворюють, чи утворюючих поліномів.

Побудова циклічного коду (n, m) зводиться до того, що поліном Q(x), що представляє інформаційну частину кодової комбінації, потрібно перетворити в поліном F(x) ступеня не більш (n – 1), який без залишку ділиться на поліном P(x), що породжує (багаточлен, що не приводиться), ступеня k (k = n – m).

Розглянемо послідовність операцій побудови циклічного коду. <lt>Представляємо інформаційну частину кодової комбінації завдовжки m у вигляді полінома Q(x). Для одержання k позицій під контрольні символи умножаємо Q(x) на одночлен x^k і одержуємо G(x) = Q(x)∙x^k. У результаті множення Q(x) на x^k ступінь кожного одночлену, що входить в Q(x), підвищується на k. Тоді вираз для розрахунку контрольної ознаки набуває вигляду:

(mod Р(х)).

Як значення обраного модуля – утворюючого поліному Р(х) використовується один із уже згаданих утворюючих поліномів P(x), ступінь якого дорівнює k.

Ділимо поліном Q(x)∙x^k на поліном Р(x) ступені k, що породжує, при цьому одержуємо результат розподілу С(x) такої ж ступені, що і Q(x). </lt>

Операція знаходження залишку від розподілу Q(x)∙x^k на P(x) є операцією обчислення лишку по деякому модулю, наразі це утворюючий поліном – P(x), виконується за правилом:

(mod Р(х)) = – [ ] · P(x),

де позначка [ ] означає обчислення цілої частини від виразу в дужках. Позначимо цю цілу частину через C(x). Тоді:

,

де R(x) − залишок від розподілу Q(x)∙x^k на P(x).

(mod Р(х)) = – C(x)· P(x), (1)

чи

F(x) = C(x)· P(x) = + . (2)

Звернемо увагу на те, що оскільки ступінь утворюючого поліному P(x) дорівнює k, частка C(x) має таку ж ступінь, як і кодова комбінація G(x), тому C(x) є кодовою комбінацією цього ж простого k-значного коду. Слід зауважити, що ступінь залишку не може бути більше ступеня утворюючого поліному, тобто його найвища ступінь дорівнює (k – 1). Отже, найбільше число розрядів залишку R(x) не перевищує числа k.

Звернемо увагу на два висновки, які витікають із аналізу виразу (2).

По-перше, після розподілу (2) на утворюючий поліном P(x) одержимо:

F(x)/P(x) = C(x) = (x^kQ(x) + R(x))/P(x).

Тобто сума результату множення кодової комбінації Q(x) простого коду на одночлен x^k і залишку R(x)

x^kQ(x) + R(x) (3)

ділиться націло на утворюючий поліном P(x):

C(x) = (x^kQ(x) + R(x))/P(x),

а отже є шуканим циклічним кодом.

По-друге, результат множення кодової комбінації С(x) простого коду на утворюючий поліном P(x):

F(x) = C(x)P(x)

дорівнює величині (3), також ділиться націло на утворюючий поліном P(x):

F(x)/P(x) = C(x),

а отже також є шуканим циклічним кодом.

Таким чином, процедура кодування, тобто одержання кодової комбінації циклічного n-значного коду може бути здійснена двома способами:

1) множенням кодової комбінації G(x) простого коду на одночлен x^k і додаванням до цього добутку залишку R(x), отриманого в результаті розподілу добутку x^kG(x) на утворюючий поліном P(x). Звернемо увагу, що процедура одержання залишку R(x) може бути реалізованою як R(x) = x^kQ(x) mod P(x).

2) множенням інформаційної послідовності – кодової комбінації Q(x) простого m − значного коду на утворюючий поліном P(x). Звернемо увагу, що остання процедура може бути реалізованою як (mod Р), де як символ коду а_і розглядається вихідна т – значна інформаційна послідовність G(x), яка підлягає кодуванню. Отже, в цьому випадку, оскільки та , кількість доданків в сумі дорівнює одиниці (і =1). Як множник слід використати утворюючий поліном P(x), а як значення модуля – величину , що є еквівалентним виконанню лише операції множення Q(x)·P(x).

При побудові циклічних кодів першим способом розташування інформаційних символів у всіх комбінаціях строго впорядковане – вони займають m старших розрядів комбінації, а решта (k = n – m) розрядів відводяться під контрольні. Тобто, при такому методі побудови коефіцієнти при вищих ступенях х є значеннями інформаційних розрядів, а коефіцієнти при ступенях порядку (k – 1) і нижче  є перевірочними. Нагадаємо, що такі коди мають назву роздільних несистематичних (надлишкові символи мають чітко визначені позиції і не є лінійними комбінаціями інформаційних).

При другому способі утворення циклічних кодів інформаційні і контрольні символи в комбінаціях циклічного коду не відокремлені один від одного, що утрудняє процес декодування. Такі коди мають назву нероздільних систематичних (надлишкові символи не мають чітко визначених позицій і є лінійними комбінаціями інформаційних).

Приклад реалізації першого способу кодування. Дано: n = 7, m = 4, k = 3 і Р(x) = х³ + х + 1 = 1011. Потрібно закодувати повідомлення G(x) = х³ + х²+ + 1 = 1101.

Множимо кодову комбінацію G(x) вихідного коду на одночлен x^k = х³, і одержуємо x^k·G(x) = х⁶ + х⁵ + х³. Надалі ділимо цей добуток на утворюючий поліном Р(x) = х³ + х + 1, в наслідок чого одержимо:

х ⁶ + х⁵ + х³ х³ + х + 1

х ⁶ + х⁴ + х³ х³ + х² + х+ 1

х⁵ + х⁴

х⁵ + х³ + х²

х⁴+ х³ + х²

х⁴+ х² + х

х³ + х

х³ + х + 1

R(x) = 1

У результаті цій операції одержимо залишок R(x) = 1.

Додаючи добуток х³G(х) до одержаного залишку, одержимо кодовий багаточлен

F(x) = x³G (х) + R (x) = х⁶ + х⁵ + х³+ 1.

У двійковому коді цьому багаточлену відповідає кодова комбінація 1101001, в якій перевірочні розряди займають три останні позиції і яку слід передавати каналом зв’язку.

В разі відсутності спотворень на приймальному боці прийнята кодова комбінація F^/(x) повністю збігається із переданою F^/(x) = F(x) = х⁶ + х⁵ + х³+ 1 і повинна ділитися на утворюючий багаточлен Р(x) без залишку:

х⁶ + х⁵ + х³ + 1 х³ + х + 1

х⁶ + х⁴ + х³ х³ + х² + х + 1

х⁵ + х⁴ + 1

х⁵ + х³ + х²

х⁴ + х³ + х² + 1

х⁴ + х² + х

х³ + х + 1

х³ + х + 1

R(x) = 0

У результаті цій операції одержимо частку С(x) = х³ + х² + х + 1 та залишок R(x) = 0, що відповідає нашім очікуванням.

Приклад реалізації другого способу кодування. Дано: n = 7, m = 4, k = 3 і Р(x) = х³ + х + 1= 1011. Потрібно закодувати повідомлення х³ + х + х⁰ = 1011.

Для кодування цього повідомлення 1011, відповідного багаточлену G(х) = х³ + х + 1, помножимо Р(х) на G(х):

х³ + х + 1

х³ + х² + 1

х³ + х + 1

х⁵ + х³ + х²

х⁶ + х⁴+ х³

х⁶ + х⁵ + х⁴ + х³ + х² + х + 1

У двійковому коді цьому багаточлену відповідає кодова комбінація 1111111, яку слід передавати каналом зв’язку і в якій контрольні символи не відокремлені один від одного. Отже маємо нероздільний систематичний код (надлишкові символи не мають чітко визначених позицій і є лінійними комбінаціями інформаційних).

В разі відсутності спотворень ця кодова комбінація повинна ділитися на утворюючий багаточлен Р(x) без залишку:

х ⁶ + х⁵ + х⁴ + х³ + х²+ х + 1 х³ + х² + 1

х⁶ + х⁵ + х³ х³ + х + 1

х⁴ + х² + х + 1

х⁴ + х³ + х

х³ + х² + 1

х³ + х² + 1

R(x) = 0

У результаті цій операції одержимо первинний код − частку С(x) = х³ + х + 1 та залишок R(x) = 0, що відповідає нашім очікуванням.

Розглянуті міркування надають можливість стверджувати наступне. В разі наявності спотворень прийняте повідомлення, яке позначимо F^/(x), можна представити у вигляді суми двох доданків: багаточлена, сформованого на передаючій стороні F(x), і багаточлена спотворення Е(х): F^/(x) = F(x) + Е(х). Цей багаточлен слід розділити на Р(х). Якщо ділення здійснюється без залишку, що є можливим лише при Е(х) = 0, то ухвалюється рішення, що інформація не спотворена. В іншому випадку слід ухвалити рішення, що інформація має спотворення.

Отже, процедура декодування, при застосуванні циклічного коду в режимі виявлення спотворень, полягає, перш за все, у визначенні факту відсутності чи наявності спотворень. Із цією метою, незалежно від процедури кодування, здійснюється розподіл прийнятого повідомлення F^/(x) на утворюючий поліном Р(х) та аналіз одержаного при цьому залишку.

Якщо ділення здійснюється без залишку, то ухвалюється рішення, що інформація не спотворена. Тоді, в разі використання першого способу кодування, прийнятим вважається повідомлення, одержане шляхом відкидання від прийнятого поліному F^/(x) усіх членів, ступінь яких є меншою за k. У разі ж використання другого способу кодування, прийнятим вважається повідомлення, яке є часткою від розподілу прийнятого повідомлення F^/(x) на утворюючий поліном Р(х), тобто поліном С(x).

Якщо ділення здійснюється із залишком, то прийнята інформація має спотворення, не може бути використаною для подальших операцій над нею і ухвалюється рішення, щодо подальших кроків.

У разі застосування циклічного коду, як коду з виправленням спотворень, процедура декодування включає аналіз залишку, що вийшов після ділення прийнятої кодової комбінація на початковий багаточлен, визначення місця спотворення та його усунення. Ця процедура розглядається нижче.

Одна з основних задач, що стоять перед розробниками захисних пристроїв від помилок при передачі дискретних повідомлень по каналах зв’язку є вибір породжуючого багаточлена Р(x) для побудови циклічного коду, що забезпечує необхідну мінімальну кодову відстань для гарантійного виявлення та виправлення t-кратних спотворень.

Існують спеціальні таблиці з вибору Р(x) в залежності від пропонованих вимог до корегуючих можливостям коду. Приклад такої таблиці (табл. 1) наведено. Однак у кожного циклічного коду є свої особливості формування Р(x). Тому при вивченні конкретних циклічних кодів розглядаються відповідні способи побудови Р(x).

Таблица 1

k-ступінь поліному G(х)	Породжуючий поліном G(х)	Запис поліному по mod 2	Запис поліному по mod 8	n	m	Примітка
1	x+1	11	3	3	2	Код с перевіркою на парність
2	x 2+ x +1	111	7	3	1	Код с повторенням
3	x 3+ x 2+1	1101	13	7	4	Класичний код
	x 3+ x +1	1011	15	7	4	Код Хеммінга
4	x4+ x3+1	11001	31	15	11	Класичний код
	x4+ x+1	10011	23	15	11	Код Хеммінга
	x4+ x2+ x+1	10111	27	7	3	Коди Файра- Абрамсона
	x4+ x3+ x2+1	11101	35	7	3
5	x5+ x2+1	100101	45	31	26	Класичний код
	x5+ x3+1	101001	51	31	26	Код Хеммінга
	…	…	…	…	…
6	x6+ x5+ x4+ + x3+ x2+ x1+1	1111111	177	7	1	Код с повторенням
	...	...	...