Раздел 4 Численные методы

4.1 Вычисление погрешностей результатов арифметических действий

Пусть - приближение величины, точное значение которой равно .

(29)

- абсолютная погрешность приближения.

0)

- относительная погрешность приближения.

(31)

- граница относительной погрешности, где - граница абсолютной погрешности.

Рассмотрим типовые задания с подробными решениями и указаниями или методические рекомендации к выполнению задания.

Пример 1. Известно, что . Найти абсолютную и относительную погрешность приближения .

Решение: Пусть - приближение величины, точное значение которой равно .

Тогда =0,0015926 - абсолютная погрешность приближения. - относительная погрешность приближения.

Пример 2. При измерении длины и диаметра некоторого провода получены значения м, мм. Вычислить границы относительных погрешностей и .

Решение: и . В процентах получим: и .

Пример 3. Для приближения граница относительной погрешности равна . Найти границу абсолютной погрешности .

Решение: из формулы находим

.

4.3 Решение алгебраических уравнений приближенными методами

Задача о нахождении приближенных значений действительных корней уравнения f(x)=0 предусматривает предварительное отделение корня, т.е. установление промежутка в котором других корней данного уравнения нет. Мы будем предлагать, что функция f(x) в промежутке [a,b] непрерывна вместе со своими производными f’(x) и f’’(x), значения f(a) и f(b) функции на концах промежутка имеют разные знаки, т.е. , и обе производные сохраняют знак во всем промежутке [a,b].

Метод хорд. Требуется вычислить действительный корень уравнения f(x)=0, изолированный на отрезке [a,b]. Пусть f(a)<0 и f(b)>0. По формуле

, (32)

где x₁ принадлежит интервалу (a,b). Пусть , тогда за новый интервал изоляции корня можно принять [x₁;b]. Тогда

и т.д. (33)

Последовательность чисел стремится к искомому корню уравнения f(x)=0. Вычисление приближенных значений корней уравнения следует вести до тех пор, которые мы хотим сохранить в ответе (т.е. пока не будет достигнута заданная степень точности).

Метод касательных. Требуется вычислить действительный корень уравнения f(x)=0, изолированный на отрезке [a,b]. Будем предполагать, что все ограничения, сформулированные вначале относительно f(x), сохраняют силу и сейчас. Возьмем на [a,b] число x₀ , при котором f(x₀) имеет тот же знак, что и f’’(x0), т.е. такое, что (можно взять один из концов данного отрезка, при соблюдении этого условия в нем). М₀(x₀,f(x₀)) –точка касания. Тогда

. (34)

М₁(x₁,f(x₁)) –точка касания. Тогда и т.д. Полученная последовательность корней x₀, x₁, x₂ имеет своим пределом искомый корень.

Комбинированный метод

. , . (35)

, и т.д. (36)

Продолжаем вычисления до тех пор пока не станет выполняться , где - достаточно малое число.

Рассмотрим типовые задания с подробными решениями.

Пример 1. Методом хорд и методом касательных найти положительный корень уравнения с точностью до 0,01.

Решение.

Метод хорд.

Находим промежуток в котором будет положительный корень (1; 1,7), т.к. . . Так как , следовательно (1,588;1,7). Продолжаем вычисления: . Так как , следовательно ( ;1,7). Продолжаем вычисления: . Так как , следовательно ( ;1,7). Продолжаем вычисления: . Так как , следовательно искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.

Метод касательных.

. Так как f(x) и f’’(x) при x₀=1,7 имеют один и тот же знак, а именно: , то воспользуемся формулой:

, , . Следовательно искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.