§5. Прямое произведение множеств.

Рассмотрим один из наиболее распространенных способов конструирования больших множеств. Возьмем шахматную доску. Столбцы обозначим буквами a, b,...,h. Множество столбцов F={a, b,...,h}, множество строк R={1, 2, ...,8}. Каждая клетка может быть однозначно задана двумя символами, один из множества F, другой из множества R: а1, f7, e3 и т.д. То есть из множеств F и R мы образовали множество всех клеток доски. Попробуем обобщить и формализовать эту идею.

Определение 1: Упорядоченным набором (кортежем) длины n будем называть упорядоченную последовательность, состоящую из п элементов. Обозначение — (x₁, x₂, ..., x_n); на то, что это кортеж указывают круглые скобки.

Определение 2: Два кортежа (a₁, a₂,..., a_n) и (b₁, b₂,..., b_n) называются равными в том и только том случае, если a₁= b₁, a₂= b₂,..., a_n= b_n.

Таким образом, если a1¹ b1, то (a1, a2,..., an)¹ (b1, b2,..., bn).

Упорядоченный набор длины 2 будем называть парой.

Определение 3: пусть даны n множеств A₁, A₂,…, A_n; множество всех наборов (x₁, x₂, ..., x_n) таких, что x₁ÎA₁, x₂ÎA₂,..., x_nÎA_n, называют прямым произведением множеств A₁, A₂,…, A_n и обозначают A₁´A₂´…´ A_n или более кратко

Формально: A₁× A₂×...× A_n = {(x₁,x₂,...,x_n) x₁A₁₂A₂...x_nA_n }.

Часто на практике возникают ситуации, когда A₁=A₂=…=A_n тогда A₁´ A₂´…´A_n будем обозначать Аⁿ и называть n-ой степенью А, то есть

При этом будем считать, что А¹=А.

Примеры и важные упражнения:

1. Пусть Х={0;1}; Y={x; y}. Тогда X´Y={(0;x); (0;y); (1;x); (1;y)}; Y´X={(x;0); (x;1); (y;0); (y;1)}. Таким образом, X´Y¹Y´X.

2. X²={(0;0); (0;1); (1;0); (1;1)}

3. X=[0,1], Y=[0,1]. X´Y={(x, y)| 0£x£1 Ù 0£y£1}. Если расположить множества X и Y на осях координат, то X и Y есть множество точек единичного квадрата.

4. (упражнение) Доказать, что если AÍX и BÍY, то A´B Í X´Y. Очевидно: если (a,b)ÎA´B, то aÎA и bÎB, но это значит, что aÎX и bÎY, следовательно (a,b)ÎX´Y.

5. (упражнение) Доказать, что A´(BÇC)=(A´B)Ç(A´C).

6. (упражнение) Если /А/=m и /В/=n, то чему равна мощность /А´В/?

7. (упражнение*) Доказать, что A´B=B´A тогда и только тогда, когда А=В.

Принцип полной математической индукции.

Одним из важнейших методов получения результатов, связанных со свойствами элементов конечных множеств, является принцип (метод) математической индукции. Заключается он в следующем:

Формулировка принципа: Пусть требуется доказать истинность утверждения Р(n) для любого натурального n, начиная с некоторого n₀. Если для некоторого натурального n₀  N (обычно n₀ = 1, но не всегда) мы можем доказать истинность Р(n₀)- (I шаг) и для любого n  N, такого что n  n₀, справедливость Р(n) влечет справедливость Р(n + 1)- (II шаг), то утверждение Р(m) справедливо для любого натурального      m  n₀.

I шаг - основание индукции,  II шаг - шаг индукции.

Доказательство этого принципа основано на одном интуитивно-ясном факте: Всякое подмножество множества N  содержит свой минимальный элемент. Смысл его состоит в том, что между 1 и 2, 2 и 3, ..., n и n+1 нет элементов из N. Строгое доказательство этого факта основано на способе построения множества N и выходит за рамки данного курса (подробное обсуждение этих вопросов смотри в книгах [2] и [4] ).

Доказательство принципа математической  индукции.

От противного.

Пусть S= {s  s  N и P(s) неверно}  N не пусто. Тогда, согласно вышесказанному, S содержит наименьший элемент s₀. Тогда P(s₀)- ложно. Но P(s)- истинно для всех  n₀  s < s₀ , а значит оно истинно и для s₀ - 1. Тогда, применяя шаг индукции, получаем, что P(s₀) - истинно. Противоречие.

Пример 1. Доказать, что 1²+ 2²+... + n²= n(n+ 1)(2n+ 1)/ 6.

I.    Основание индукции. При n = 1 имеем:     1² = (1^. 2^. 3)/ 6= 1.