§4. Универсальное множество. Дополнение множества.

При решении конкретной задачи обычно встречаются множества, состоящие из элементов определенной природы. Например, в геометрии это множества точек или прямых, в арифметике- множества чисел, в социологии- множества людей и т.п. Поэтому элементы другой природы рассматривать вовсе и не требуется.

Определение 1: универсальное множество (обозначать будем U) есть множество всех рассматриваемых в данной задаче элементов.

Поскольку практически всегда ясно, с объектами какого рода мы работаем, будем считать, что все рассматриваемые ниже множества содержатся в одном и том же универсальном множестве. Таким образом, для всякого рассматриваемого множества А AÌU. Cледовательно, выполняется соотношение

A ÈU = U ; A Ç U = A (1)

Определение 2: множество U \ А называется дополнением множества А и обозначается через А’( или А^С или СА ).

Формально А’={x| xÏA}. Тогда A” означает (A’)’= U \ A’.

Нетрудно видеть, что

A È A’ = U ; A Ç A’ = Æ (2)

Утверждение 1 ( закон инволюции ): Для любого множества А

A” = A (3)

Доказательство:

И левая часть, и правая часть – это те и только те элементы U, которые не принадлежат А’.

Утверждение 2 : Если А Ì В, то В’ Ì A’.

Доказательство:

Пусть xÎB’ Þ xÏB Þ xÏA Þ xÎA’. Что и требовалось доказать.

Утверждение 3( законы де Моргана для множеств) :

( A  B)’ = A’ Ç B’ (5)

( A Ç B)’ = A’ B’ (6)

Доказательство:

Докажем сначала (5). xÎ( A È B)’, следовательно xÏ A È B, но это равносильно истинности высказывания º , что означает, что истинно xÏA Ù xÏB , то есть xÎA’ Ù xÎB’, а значит xÎA’ÇB’.

Докажем (6), используя (5): ( A’È B’)’ = A”Ç B” = A Ç B, отсюда (AÇB)’ = (A’ÈB’)” Þ (A Ç B)’ = A’ÈB’. Что и требовалось доказать.

Многие свойства множеств удобно иллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера-Венна. При этом удобно множество изображать кругами или другими связными фигурами. U- прямоугольником, внутри него остальные множества.

Например, легко увидеть(нарисуйте), что (AÈB) \B=А не всегда верно, а если АÇB=Æ, то верно.

Поэтому удобно, прежде чем доказывать какое-либо теоретико-множественное равенство, представить его левую часть и правую часть при помощи диаграмм Венна.

И в заключении параграфа введем еще одно важное понятие, связанное с количеством элементов множества.

Рассмотрим множество А={1; 2; ... ;n}={x| xÎN Ù 1£x£n}. Оно содержит n элементов. Будем говорить, что мощность множества А есть n и записывать: |A|=card(A)=n.

Далее будем говорить, что любое множество В, имеющее то же число элементов, что и А, имеет мощность n.

Определение 3: говорят, что множество Х конечно, если Х= или если существует число nÎN, такое, что Х имеет такое же число элементов, что и {1; 2; ... ;n}, то есть /Х/=n. Если Х ¹  и такого n не существует, то Х называют бесконечным.

Пример: 1) A={x| xÎZ Ù -2£x<2} |A|=4

2) В классе 30 человек, они изучают французский и английский языки. Французский изучают 12 человек, английский— 25. Сколько человек изучают оба языка? (ответ 7 человек)

3) Доказать формулу: |AÈB| = |A|+|B|+|AÇB|, если A и B конечные множества.