§ 7. Отображение конечных множеств (продолжение).

Рассмотрим теперь несколько иную ситуацию. Пусть А- конечное множество и |A| = n, B  A, |B| = r  n. Возникает вопрос: сколько существует биективных функций из A на B? Или, что эквивалентно: сколько существует инъективных отображений В в А? Попробуем ответить на этот вопрос, используя снова ситуацию размещения n предметов по r ящикам. В первый ящик мы можем положить n предметов, во второй - n-1 и т.д., в r-й - n-r+1. Получаем некоторое число, которое, учитывая аналогию с подстановками, обозначим

P_n^r = n ( n – 1 ) ... ( n – r + 1) (1)

Число P_n^r показывает, сколько кортежей (упорядоченных наборов) длины r можно построить из элементов n - элементного множества А.

Определение 1: Упорядоченное r-элементное подмножество n-элементного множества будем называть размещением (без повторений) из n элементов по r.

Для общности приведем (1) к несколько иному виду: умножим и разделим правую часть на (n - r)! :

P_n^r = = (2)

Однако при постановке задачи мы брали r  n, а оно у нас в знаменателе. Поэтому поступим так положим 0 ! = 1. Для этого есть основания - на множестве из k элементов существует k! подстановок. А сколько подстановок на ? Разумно предположить, что есть единственная биекция  на себя! Теперь формула (2) и обозначение P_n^r согласуется с нашим предыдущим обозначением, а именно P_n^r = = n!

Откажемся теперь от «упорядоченности» множества В.

Определение 2. Пусть В  А и | A | = n, | B | = r , r  n. Подмножество (неупорядоченное) В называется сочетанием из n элементов по r. Число таких сочетаний обозначается C_n ^r.

Попробуем найти формулу для нахождения числа C_n^r. Сколькими способами можно выбрать r элементов из n- элементного множества? Или: Сколько существует биективных функций из А на В. Имеющих В своим образом?

Пусть f и g две такие функции. E_f= Eg= B. Как связаны друг с другом эти функции? Для ответа на этот вопрос рассмотрим диаграммы:

Т .е.  должно быть биекцией В на В такой, что g=  f. А значит число таких функций равно числу подстановок множества В, т.е. P_r^r. А всего способов отображения А на В - P_n^r. В итоге получаем формулу количества размещений(без повторений) из n элементов по r:

P_n^r= C_n^{r .} P_r^r (3) Отсюда

C_n^r= = (4)

Если отвлечься от поставленной задачи и изучить сами числа C_n^r, определяемые формулой (3), то можно заметить некоторые интересные свойства :

Свойство 1 (симметрия):

C_n^r= C_n^n-r.

Доказательство:

C_n^n-r= = = C_n^r.

Комментарий: Если r- элементное подмножество В n- элементного множества А можно выбрать несколькими способами, то дополнение А\В можно выбрать таким же числом способов.

Свойство 2 (Правило Паскаля):

C_n+1^r = C_n^r + C_n^r-1.

Доказательство:

C_n^r + C_n^r-1= + = =

= =

Что и требовалось доказать.

Это дает рекуррентный способ построения чисел C_n^r. Только надо доопределить для r = 0: C_n⁰ = = 1= C_nⁿ (по свойству 1). Попробуем расположить наши результаты в виде таблицы. Будем располагать в n строках, т.е. номер строки равен n, а номер столбца равен r, а еще нулевой столбец и строку:

r n	0	1	2	3	4
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1

Чаще эту таблицу записывают в следующем виде, где проще просматривается закономерность получения элементов каждой следующей строки из предыдущей:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

. . . . . . . . . . . . .

С войство 3 (бином Ньютона). Для любых действительных чисел а и b и для любого натурального числа n имеет место формула:

.

Замечание: Если учесть, что C_n⁰ = C_nⁿ, и a ⁿ = C_n⁰ aⁿ b⁰,

bⁿ = C_nⁿ a⁰ bⁿ , то бином запишется так: ( a + b ) ⁿ = .

Доказательство (по индукции):

I шаг. При n= 1: a+ b= C₁⁰a+ C₁¹b= a+ b.

II шаг. Пусть (a+ b)^k= - верно. Тогда (a+b)^k+1= (a+b)^k(a+b)= ^. (a+b)= a + b= a^k+1 + (C_k⁰+ C_k¹)a^kb + (C_k¹+ C_k²)a^k-1b² +...+ (C_k^s+ C_k^s+1)a^k-sb^s+...+ b^k+1, получаем (по свойству 2: C_k^s+C_k^s+1= C_k+1^s+1):

(а+ b)^k+1= a^k+1+ C_k+1¹a^kb+ C_k+1²a^k-1b²+...+ C_k+1^s+1a^k-sb^s+1+ ...+ b^k+1 . Ч.т.д.

Поэтому числа C_n^r называются биномиальными коэффициентами.

Какие задачи можно решать, используя введенные в начале параграфа понятия? Задачи на определение числа возможных конечных множеств или кортежей с заданными свойствами, которые можно составить из элементов данного конечного множества, или числа возможных функций (или отношений) с заданными свойствами, которые можно построить между двумя конечными множествами. Такие задачи обычно называют комбинаторными задачами.

Рассмотрим некоторые такие задачи (на конкретных множествах).

Пример 1: Клавиатура пианино содержит 88 клавиш. Сколько различных музыкальных фраз можно составить из 6 нот, если не допускать в одной фразе одинаковых звуков?

P₈₈⁶= 88^.87^.86^.85^.84^.83= 390 190 489 920.

Специально было сказано: «без повторений». Это словосочетание уже звучало в определениях 1 и 2. Попробуем отказаться от него.

Пример 2: Сколько различных музыкальных фраз можно составить из 6 нот, допуская повторение одних и тех же звуков?

Эта задача тоже на построение кортежа длины 6. Но отличается от предыдущей тем, что после выбора первой ноты для выбора второй имеется снова 88 возможностей. Таким образом общее число фраз равно

88⁶= 464 404 086 784= R₈₈⁶.

В общем виде эту задачу можно сформулировать так: |A|= n. Сколько кортежей с повторениями длины k можно составить из элементов А? Эта задача равносильна следующей: Найти |A^k|, если |A|= n. По теореме о мощности прямого произведения |A^k|= n^k. Т.е. число размещений с повторениями из n элементов по k равно R_n^k= n^k.

Пример 3: В университете есть 60 человек играющих в футбол. Из них надо составить 3 команды, т.е. отобрать 33 человека. Остальные 27 человек будут в запасе.

Решение: С₆₀³³ = С₆₀²⁷ - это более, чем миллиард миллиардов.

На самом деле существует много комбинаторных задач, в которых невозможно указать простую формулу для числа допускаемых задачей логических возможностей. В некоторых из них может оказаться полезным общий принцип.

Принцип умножения: Пусть некоторый выбор может быть сделан в точности r различными способами; для каждого их этих способов некоторый второй выбор может быть сделан в точности s различными способами; для каждой пары первых двух выборов некоторый третий выбор может быть сделан в точности t способами и т.д. Тогда число способов для последовательности этих выборов получается перемножением соответствующих чисел, т.е. равно r ^. s ^. t... .

(Можно проверить на множестве, состоящем из 3 или 4 элементов).

Прежде чем привести следующий пример, дадим удобное определение.

Определение: Размещение из n элементов по n будем называть перестановкой n- элементного множества. Другими словами, перестановка- это образ n- элементного множества А при подстановке на А.

Число перестановок из n по n равно числу подстановок n- элементного множества, т.е. P_nⁿ= n! = P_n.

Пример 4: (перестановки с повторениями). Имеется 3 одноцветные пешки и 2 одноцветных коня. Сколькими способами можно их расставить в ряд?

Наклеим на фигуры разноцветные ярлыки и будем временно считать все фигуры различными. Тогда число способов расстановки в ряд пяти фигур будет P₅= 5! Но если теперь снять ярлыки, то среди 5! перестановок будут совпадающие. Совпадающими будут перестановки, отличающиеся порядком пешек, их всего P₃= 3! , и порядком коней- их P₂= 2! Значит общее число способов расстановки в ряд трех одноцветных пешек и 2 одноцветных коней равно = 10.

Можно обобщить эту задачу и показать, что число различных расположений n объектов, среди которых имеется n₁ неразличимых объектов типа 1, n₂ объектов типа 2 и т.д., n_r объектов типа r равно:

P_n(n₁, n₂,..., n_r)= = , где n₁+ n₂+...+ n_r= n.

Общие рассуждения мало чем отличаются от рассуждения примера 4. Следующий пример иллюстрирует разнообразие комбинаторных задач и так или иначе использует способы рассуждений, приводившиеся выше.