§ 6 Подстановки.

В этом и нескольких следующих параграфах рассмотрим специальные классы функций: подстановки, размещения и сочетания. Эти функции часто используются. Особо отметим их приложения к теории графов, к трассировке вычислений и вообще работе программ, к построению языков программирования и переводу, к машинной графике.

Определение 1: Биективное отображение конечного множества А на себя называется подстановкой множества А.

Мы знаем, что биективное отображение любого множества А на себя называется преобразованием множества А. Поэтому определение подстановки можно сформулировать и так:

Определение 1’: Преобразование конечного множества А называется подстановкой множества А.

Если |A|=nN, то можно решить вопрос о количестве различных подстановок множества А. Обозначим число таких подстановок через (читается: Р из n по n). Задачу построения биекции А на А можно рассматривать как задачу размещения n объектов (элементов множества А) по n ящикам, по одному в каждый ящик. Пронумеруем ящики от 1 до n. Порядок, в котором заполняются ящики, несуществен (любой другой порядок можно получить перемешиванием ящиков). Первый ящик может быть заполнен n способами, т.к. мы имеем свободный выбор из всего множества А. Убирая выбранный элемент из А, получим множество из n- 1 элементов. Следовательно, второй ящик может быть заполнен n- 1 способами, третий- n- 2 способами и т.д. Продолжая этот процесс, получим, что (n- 1)- й ящик может быть заполнен двумя способами, а ящик с номером n- единственным оставшимся элементом из А. Следовательно, число различных подстановок множества А равно n^.(n- 1)^.(n- 2)^. ...^.3^.2^.1. Это произведение называется факториалом числа n и обозначается n! Таким образом,

P_nⁿ= n!= 1^.2^.3^.... ^. (n- 1)^. n

Изучим теперь сами подстановки множества А и некоторые их свойства.

Поскольку А  N_n, то количество подстановок у них одно и тоже, Значит между множеством всех подстановок множества А и множеством всех подстановок множества N_n можно установить взаимно- однозначное соответствие (биекцию), т.е. каждой подстановке множества А соответствует единственная подстановка множества N_n и каждой подстановке множества N_n соответствует единственная подстановка множества А. Поэтому будем изучать подстановки N_n , которые будем обозначать буквами греческого алфавита.

Пусть  подстановка на N_n. Тогда  можно определить как множество пар следующим образом:

= {(1, x₁), (2, x₂),... , (n, x_n)}, где {x₁, x₂,... , x_n} = N_n .

Не обязательно, конечно, x₁= 1, x₂= 2 и т.д.

Подстановки удобно записывать следующим образом:

 = - здесь сразу видно какой элемент в какой переходит.

Пример 1: Пусть - подстановка на N₆:

= . Тогда (1) = 5, (2) = 6, (3) = 3 и т.д.

Достоинством этого обозначения является простота, с которой могут быть вычислены композиции подстановок. Разберем это на примере:

Пример 2: Пусть  подстановка из примера 1, а

= . Вычислим  : К каждому элементу N₆ применим сначала  , а потом к результату применим : (1)= 5, (5)= 4, значит ((1))=4; (2)= 6, а (6)= 5, значит ((2))= 5 и т.д. В конечном итоге получаем   = .

Композицию подстановок можно построить и так: переставим в подстановке  столбцы так, чтобы ее первая строка была такой же как и вторая строка в подстановке 

= и запишем их одна под другой:

=

= , тогда легко получаем

  = .

  = , значит     .

Пример 3: Пусть - подстановка из примера 1. Найти ¹⁰, т.е.    ...  - 10 раз.Для этого вовсе не обязательно находить десять раз образы каждого элемента. Замечаем, что (1)= 5, (5)= 4, (4)= 1, значит ³(1)= 1, но ¹⁰=  ³ ³, значит ¹⁰(1)= 5. Далее:

²(2)= 2  ¹⁰(2)= 2,

¹⁰(3)= 3,

³(4)= 4  ¹⁰(4)= 1,

³(5)= 5  ¹⁰(5)= 4,

²(6)= 6  ¹⁰(6)= 6.

В итоге получаем: ^!0= .

Определение 2: Подстановка называется тождественной подстановкой и обозначается I_n (т.к. I_Nn -слишком громоздко).

Поскольку подстановка это биекция, имеет смысл говорить об обратной подстановке. Как построить обратную подстановку? Учитывая свойство биекции  ^-1 = I_n= ^-1 : Если  переводит k в a_k, то ^-1 должна a_k перевести в k. Поэтому получаем правило построения ^-1 из :

Подстановка ^-1 получается из  перестановкой строк.

Пример 4: Пусть - подстановка из примера 2. Тогда

^-1= . Перепишем ее в более удобном виде:

^-1= . Тогда

^-1  = = = I₆.

 ^-1 = = = I_6.

Хотя рассмотренное выше представление подстановок удобно для вычислений, однако, оно требует много лишнего места, особенно в тех случаях, когда многие элементы не меняются в процессе подстановки. Приведем другое, более простое представление, которое позволит получить нам одно весьма полезное свойство подстановок.

Определение 3: Пусть A = {a_1, a₂,..., a_n} (т. е. элементы множества пронумерованы каким - то образом). Подстановку  называют циклом (циклической подстановкой), если ее можно представить в виде:

 = .

Предположим теперь, что A B и |B|= m n. Зададим подстановку  на В, расширяя подстановку , так, что

: x

Т.е. если B = {a_1, a_2, ..., a_n, a_n+1, ..., a_m}, то  можно записать в виде:

 = (1)

Подстановка , действуя на В, ведет себя как , во всех тех случаях, когда элементы В не остаются на месте. Можно сказать, что  передвигает элементы a_i циклическим образом («по кругу» см. рис.1).

Поскольку, как правило, множество, на котором действует подстановка известно (для  это В), то ее удобно записывать в следующей форме:

= (a₁, a₂,..., a_n) (2)

Эта подстановка называется циклом длины n. Цикл длины 1 будем называть тривиальным циклом. Поэтому можно сказать, что (2) получена из (1) исключением циклов длины 1. С другой стороны если подстановка  задана в виде (2), то легко понять, как она действует на B (рис. 2).

И ее легко записать в виде (1). Т.е. при переходе от (2) к (1) мы добавляем циклы длины 1, если они есть.

Пример 5. Рассмотрим опять подстановку  = . Перепишем ее в виде (1)   , т.е. эта подстановка является циклом длины 5 и ее можно представить в виде   (1, 3, 6, 5, 4). Не все подстановки, конечно же, являются циклом, однако они все содержат циклы.

Пример 6. Подстановка  из примера 1  = .

Ее можно представить в виде:  = . Как видно, она сама не является циклом, но содержит два нетривиальных цикла: (1, 5, 4) и (2, 6). Для того чтобы понять, что собой представляет  дополним каждый из этих циклов до преобразования N₆, не забыв о тривиальном цикле (3), и представим их в форме (1). А именно:

₁= (1, 5, 4)= ; ₂ = (2, 6) = , тогда

₂ ₁ = ; ₁ ₂ = . Мы видим, что  = ₁ ₂ = ₂ ₁ (_*)

Нам удалось представить подстановку множества, состоящего из шести элементов в виде композиции двух нетривиальных циклов. В этом случае будем говорить, что подстановка  представлена в виде произведения двух циклов и записывать  = (1, 5, 4) (2, 6).

Из того, что - биекция и по основному свойству биекций:

f ( X  Y ) = f ( X )  f ( Y ), можно сделать вывод, что циклы одной и той же подстановки не могут содержать общие элементы. Следовательно, подстановку  мы представили в виде произведения непересекающихся циклов.

На самом деле имеет место общая теорема:

Теорема (о представлении подстановки). Всякая подстановка конечного множества может быть представлена в виде произведения не пересекающихся циклов.

(без доказательства), желающие могут найти его в книге [1].

Вернемся к примеру 5. Равенство (_*) говорит нам о том, что если ₁ и ₂ не пересекающиеся циклы одной подстановки , то ₁ ₂ = ₂ ₁, что неверно для произвольных подстановок. Значит, циклы обладают какими- то свойствами, которыми не обладают произвольные подстановки конечных множеств. Попробуем сформулировать их и, по- возможности доказать.

Свойство 1: Композиция (произведение) циклов одной и той же подстановки коммутативна. (Доказательство самостоятельно).

Свойство 2: Если k- длина цикла  , то ^k = =I_k, т.е. тождественная подстановка.

Доказательство: Идея:  = (а₁, а₂,...,а_k) - цикл. Чтобы а₁ перевести в а_k понадобится подстановка ^k-1, а значит, чтобы а_k перевести в а₁ понадобится ^k.

Учитывая свойства 1 и 2, задачу, поставленную в примере 3, можно было бы решить быстрее:

 = (1, 5, 4) (2, 6), при этом, учитывая обозначения примера 6, имеем:

 = ₁ ₂, значит ¹⁰= (₁ ₂)¹⁰ = учтем свойство 1 и ассоциативность композиции = ₁¹⁰ ₂¹⁰ . Значит, по свойству 2, через три шага 1,5 и 4 перейдет в себя, а значит через 10 шагов 1 5, 5 4, 4 1. Через два шага двойка и шестерка перейдут в себя. Значит через 10 шагов 2 2, 6 6. Ну а тройка всегда переходит сама в себя (ведь - это подстановка на N₆). Значит

¹⁰ = = (1, 5, 4) - это цикл длины 3.