§ 5 Принцип полной математической индукции.

Одним из важнейших методов получения результатов, связанных со свойствами элементов конечных множеств, является принцип (метод) математической индукции. Заключается он в следующем:

Формулировка принципа: Пусть требуется доказать истинность утверждения Р(n) для любого натурального n, начиная с некоторого n₀. Если для некоторого натурального n₀  N (обычно n₀= 1, но не всегда) мы можем доказать истинность Р(n₀)- (I шаг) и для любого n  N, такого что n  n₀, справедливость Р(n) влечет справедливость Р( n + 1)- (II шаг), то утверждение Р(m) справедливо для любого натурального m  n₀.

I шаг - основание индукции, II шаг - шаг индукции.

Доказательство этого принципа основано на одном интуитивно-ясном факте: Всякое подмножество множества N содержит свой минимальный элемент. Смысл его состоит в том, что между 1 и 2, 2 и 3, ..., n и n+1 нет элементов из N. Строгое доказательство этого факта основано на способе построения множества N и выходит за рамки данного курса (подробное обсуждение этих вопросов смотри в книгах [2] и [4] ).

Доказательство принципа математической индукции.

От противного.

Пусть S= {s  s  N и P(s) неверно}  N не пусто. Тогда, согласно вышесказанному, S содержит наименьший элемент s₀. Тогда P(s₀)- ложно. Но P(s)- истинно для всех n₀  s < s₀ , а значит оно истинно и для s₀ - 1. Тогда, применяя шаг индукции, получаем, что P(s₀) - истинно. Противоречие.

Пример 1. Доказать, что 1²+ 2²+... + n²= n(n+ 1)(2n+ 1)/ 6.

1. Основание индукции. При n= 1 имеем: 1² = (1^. 2^. 3)/ 6= 1.

1. Шаг индукции.

Пусть при n= k 1²+ 2²+... +k² = - истинно. Обозначим эту сумму S_k. Докажем, что утверждение верно

при n = k+1, т.е. 1²+ 2²+... +k²+ (k+1)²= = S_k+1.

Тогда S_k + (k+1)²= +(k+1)² = [ k(2k+1) +

6(k+1)]= [ 2k²+ k+ 6k+ 6]= ( 2k²+ 7k+ 6 )=

= ^.2(k+2)(k+3/2)= . Таким образом, мы доказали, что из истинности утверждения для n = k следует его истинность для n= k+ 1. Значит утверждение верно для любого натурального n.

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим более сложный пример.

Пример 2. Докажем, используя принцип математической индукции, важное свойство прямого произведения конечных множеств:

Теорема: Если А и В конечны, то  А В | = | A | ^. | B |.

Доказательство: Пусть | A |= m и | B |= n, т.е. существуют биекции f: A  N_m и g: B  N_n. Будем вести индукцию по n- мощности В. От мощности А требуется конечность, поскольку мы предполагаем знакомство лишь с умножением конечных величин.

1. Основание индукции. Если В= , то A x B= , и поэтому имеем | A x B |= 0= | A | ^.0= | A | ^. | B |. При n= 1 : B= { b }, тогда отображение A  A x B такое, что а ( а, в ), очевидно, биективно и поэтому | A x B | = =| A |= | A | ^. 1= | A | ^. | B |.

2. Шаг индукции. Индукцию будем вести по подмножествам множества В.

Предположим, что | A x B_k|= m ^. k N. А значит  биекция h: A x B_k  N_{m .k}. Рассмотрим подмножество В мощности k + 1 = j. Поскольку B_k любое подмножество мощности k, то B_j- можно представить в виде: B_j = B_k  { x }, x  B и x  B_k.

Определим отображение t: A x B_j  N следующим образом: если b  B_k, то t: (a, b) h (a, b). Во всех остальных случаях t: (a, x) f(a)+ m^.k.

Тогда t (A { x } ) = { 1 + m ^. k, 2 + m ^. k, ..., m+m ^. k}, при этом

t ( A  B_k ) = { 1, 2,..., m ^. k }.

Значит t есть биекция A  B_j на {1, 2,..., m ^. k, m ^. k+1, m ^. k +2,..., m ^. k + m } = N_mk+m , но m ^. k + m = m ( k + 1 ). Значит мы установили биекцию A  B_j на N_m(k+1), т.е. | A  B_k+1 | = m^. (k+1)= =|A|^.|B_k+1|. Значит тождество справедливо для всех подмножеств, содержащихся в В, а значит справедливо и для самого В, т.е. | A  B | = | A | ^. |B|.

Что и требовалось доказать.

Замечание 1. Если воспользоваться тем фактом, что если X и Y разбиение множества Z, а X и Y- конечны, то | Z |= | X | + +| Y |, то доказательство можно провести и так: A  B_j = A  ( B_k  {x}) = [по свойству A  ( B C) = ( A  B )  ( A  C ) ] = A  B_k  A  {x} - это разбиение множества A  B_j, а значит

|A  B_J |= |A  B_k |+ |A {x}| = |A  B_k |+ |A|= m ^. k+ m = m (k+1). Однако, этот факт (|Z |= |X | + |Y |) вообще говоря, тоже надо доказывать по индукции, (докажите самостоятельно).

Упражнение. Докажите по индукции, что для p 2, p N

| A₁A₂ ...  A_p|= |A₁| ^. |A₂| ^. ...^. |A_p|, если А₁, А₂,... , А_р - конечные множества.