§4. Мощность множества.

Мы уже говорили раньше о мощности некоторых множеств и даже ввели понятие конечного и бесконечного множеств. Теперь, вооружившись понятием биекции, мы можем это сделать более строго.

Определение 1: два множества называются биективными (обозначается XY), если существует биективное отображение X на Y.

Замечание. Очевидно, что отношение «быть биективными» («~») на множестве всех множеств является отношением эквивалентности (проверьте!). Поэтому во многих книгах по теории множеств вместо слова «биективные» используют слово - «эквивалентные»

Введем обозначение N_m={1, 2, 3, ..., m}, где mN. При этом, не вдаваясь в подробности, мы будем пользоваться тем, интуитивно ясным фактом, что N_m не биективно N_k, если m  k

Определение 2. Два множества имеют одинаковую мощность (равномощны), если они биективны и будем писать A=B. При этом будем считать, что //=0, так как оно биективно только самому себе. Множество X называется конечным, если  mN (N_m~X), при этом говорят, что мощность X равна m, /X/=m . Множество называется счетным, если NX , обозначается | X| = ₀ . Множество X имеет мощность континуум, если оно биективно отрезку [0, 1]  R, обозначение: X = ₁.

Обсудим сначала свойства конечных и счетных множеств. Установить биекцию между множеством X и N_m (или N) - это значит каждому элементу из X поставить в соответствие единственное натуральное число, начиная с 1, то есть попросту пронумеровать. Таким образом, если X  N_m, то его можно расположить в виде конечной последовательности x₁, x₂,..., x_m. А если X  N, то в виде бесконечной последовательности x₁, x₂, ....

Поэтому, чтобы построить биективное отображение N_m на X или N на X, достаточно указать алгоритм перенумерования элементов множества X.

Обсудим некоторые свойства конечных множеств.

Свойство 1. Если S конечно и f: S  S инъективное отображение, то f - биекция.

Доказательство. Если S = , то результат тривиален. Пусть S  . Тогда существует биекция N_m  S для некоторого m  N и S можно записать в виде S= {а_1, а₂, ..., а_m }, тогда f(S) ={ f(a₁), f(a₂), ..., f(a_m) }, причем все f(a_i)- различны, т.к. f- инъективно. Пусть f(S)  S, т. е. есть элементы b_1, b₂, ..., b_k которые не принадлежат f(S). Тогда S= { f(a₁), f(a₂),..., f(a_m), b₁, b₂,..., b_k }. Тогда рассмотрим отображения N_m+k  S : 1 f(a₁), ..., m f(a_m), m+1  b₁, ..., m+k  b_k . Это биекция. Значит S  N_m+k. Противоречие. Что и требовалось доказать.

Следствие: Множество N - бесконечно ( не является конечным).

Доказательство: Отображение f: N  N , по правилу n  n+1 инъективно, но не сюръективно ( у 1 нет прообраза). Значит N не является конечным.В качестве пояснения можно предложить следующую цепочку логически эквивалентных формул: ( A  B  C    ( )   B ).

Что и требовалось доказать.

Это значит, что N не биективно никакому своему конечному подмножеству.

Определение 2. Символ, соответствующий мощности некоторого множества, называется кардинальным (порядковым) числом.

В частности, к кардинальным числам относятся все натуральные числа, а также ₀ и ₁.

Определение 3: Кардинальное число, не являющееся натуральным, называется трансфинитным числом.

Оказывается, что множество всех кардинальных чисел можно упорядочить, т. е. построить на этом множестве отношение полного порядка. Прежде чем переходить к построению этого порядка продолжим изучение свойств конечных и счетных множеств.

Определение 4. Подмножество A из R ограничено сверху (снизу), если в R существует наибольший (наименьший) элемент для множества А.

Множество А называется ограниченным, если оно ограниченно сверху и снизу.

Свойство 2. Ограниченное подмножество из N - конечно.

Доказательство: Поскольку N  R , то каждое подмножество из N ограничено снизу нулем. Пусть А N ограничено сверху некоторым m  N. Рассмотрим отображение f: A  N, такое что если А= {a₁, a₂,..., a_i,...} и а₁  а₂  а₃ ...  m, то f(a_i) = i. Ясно, что f(a_i)  a_i и ясно также , что f- инъективно. Должно существовать n  m, такое что f: A N_n - биективно. Если это не так, то  а_р  А (f(a_p)  m), а значит a_p  f(a_p) > m. Но А ограничено сверху числом m. Противоречие. Значит, А - конечно.

Свойство 3. Каждое подмножество конечного множества - конечно.

Доказательство: Пусть А  В и В - конечно. Если В= , то А= и утверждение доказано. Пусть В  . Тогда существует биекция f: В  N_m, для некоторого m  N. Тогда f(A)  N_m, следовательно, f(A) ограничено, а значит, конечно. Но f(A)  A, значит А тоже конечно.

Что и требовалось доказать.

Следствие. Любое множество, имеющее бесконечное подмножество, само бесконечно.

Перейдем теперь к счетным множествам (см.[11], [12]).

Утверждение 1. Множество всех целых чисел счетно (Z = ₀).

Доказательство: Построим биекцию N  Z следующим образом:

0 1, -1  2, 1  3, -2  4, 2  5.

Т.е. n  2n + 1, если n  0

n  2n , если n < 0.

Что и требовалось доказать.

Упражнения:

1. Доказать, что множество всех четных положительных чисел счетно.

2. Доказать, что множество 2, 4, 8, ..., 2ⁿ - счетно.

Утверждение 2: Множество всех рациональных чисел счетно. (Q= ₀).

Доказательство: Каждое рациональное число однозначно записывается в виде несократимой дроби = , q  N, p  Z. Назовем сумму  p + q высотой рационального числа . Ясно, что число дробей с данной высотой n- конечно. Например, высоту 1 имеет только одно число = 0; высоту 2 числа и ; высоту 3 числа ; ; ; . Будем нумеровать все рациональные числа по возрастанию высоты. Т.е. сначала выпишем числа высоты 1, потом- числа высоты 2 и т.д. При этом всякое рациональное число получит некоторый номер, т.е. будет установлено взаимно- однозначное соответствие между N и Q.

Что и требовалось доказать.

Установим теперь некоторые общие свойства счетных множеств.

Свойство 1. Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.

Доказательство: Пусть А- счетное множество, а В- его подмножество. Занумеруем элементы множества А= {а₁, а₂, ..., а_n, ...}. Пусть a_n1, a_n2, ... те из них, которые входят в множество В. Если среди чисел n1, n2, ... есть наибольшее, то В- конечно. В противном случае В- счетно, т.к. его элементы a_n1, a_n2,... занумерованы числами 1, 2,...

Что и требовалось доказать.

Свойство 2: Объединение любого конечного или счетного множества счетных множеств есть счетное множество.

Доказательство: Пусть А₁, А₂,... - счетные множества. Мы можем считать, что они попарно не пересекаются, т.к. иначе мы рассмотрели бы вместо них множества А₁, А₂ \ А₁, А₃\ (А₁  А₂ ), ... , каждое из которых не более чем счетно по свойству 1, а их объединение равно А₁ А₂.... . Поскольку каждое из множеств А₁, А₂,... счетно, то все элементы множества А₁, А₂, ... можно записать в виде следующей бесконечной таблицы:

Занумеруем все элементы по диагоналям (как показано на рисунке).

Ясно, что при этом каждый элемент каждого из множеств получит определенный номер. Т.о. будет установлено взаимно- однозначное соответствие между А₁ А₂ ... и множества N.

Что и требовалось доказать.

Свойство 3. Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Доказательство: Очевидно. Доказать самостоятельно (указание: выбираем, нумеруем, нехватки элементов не будет, поскольку множество бесконечно).

Теперь мы готовы к тому, чтобы ввести отношение порядка на множестве кардинальных чисел. Для мощностей конечных множеств это сделать несложно, поскольку (см.[4]) N_k  N_m , если k  m. Но как быть с бесконечными множествами? Основой для упорядочивания служит теорема Кантора- Бернштейна:

Теорема ( Кантор- Бернштейн). Пусть А и В два произвольных множества. Если множество А биективно некоторому подмножеству множества В, а В биективно некоторому подмножеству множества А, то множества А и В биективны.

( Без доказательства, см.[11])

С учетом этой теоремы для двух произвольных множеств А и В логически возможны следующие случаи:

1) А биективно некоторому подмножеству В, а В биективно некоторому подмножеству А.

2) А содержит подмножество, биективное В, но в В нет подмножества биективного А.

3) В содержит подмножество, биективное А, но в А нет подмножества биективного В.

4) Ни в одном из этих двух множеств нет подмножества биективного другому.

В первом случае множества А и В в силу теоремы Кантора- Бернштейна биективны, а значит  А  =  В . Во втором случае естественно считать, что  В  <  А , а в третьем  А  <  В . Наконец, в четвертом случае нам пришлось бы считать, что мощности множеств А и В несравнимы между собой. На самом деле этот случай невозможен ! (см. [11]).

Итак, для любых двух множеств А и В можно сказать, что либо  А  =  В , либо  А  <  В , либо  В  <  А .

Таким образом, учитывая свойство 1 счетных множеств и следствие из свойства 1 конечных множеств, можно сказать, что k  N ( k < ₀). Более того, учитывая свойство 3 счетных множеств, можно сказать, что счетное множество есть самое «маленькое» из бесконечных множеств. А что можно сказать про ₀ и ₁- ?

Утверждение 3: ₀ <  [0, 1]  = ₁.

Доказательство: Пусть  [ 0, 1]  = ₀, т.е. все элементы множества [ 0, 1] можно перенумеровать. Пусть

₁= 0, а₁₁ а₁₂ а₁₃... а_1n...

₂= 0, а₂₁ а₂₂ а₂₃... а_2n...

₃= 0, а₃₁ а₃₂ а₃₃... а_3n... (1)

.....................................

_n= 0, а_n1 a_n2 a_n3... a_nn...

.....................................

здесь a_ik- k-я десятичная цифра числа _i. Построим число = 0, b₁b₂b₃...b_n..., применив так называемую диагональную процедуру Кантора: пусть b₁- любая цифра не совпадающая с а₁₁, b₂- любая цифрв не совпадающая с а₂₂ и т.д., b_n- произвольная цифра, не совпадающая с а_nn. Эта дробь не может совпадать ни с одной дробью из списка (1), поскольку  отлична от ₁, по крайней мере первой цифрой, от ₂- второй, от _n- n- ой. Таким образом, никакое счетное множество действительных чисел, лежащих на отрезке [0, 1] не исчерпывает этого множества. Значит ₀ < ₁.

Что и требовалось доказать.

Замечание 1. Некоторые числа могут быть записаны в виде десятичной дроби двумя способами: с бесконечным числом нулей или с бесконечным числом девяток. Таким образом, несовпадение двух десятичных дробей еще не гарантирует различия изображаемых ими чисел ( = 0, 5000... = 0, 4999... ). Однако, если дробь  строить осторожнее, так, чтобы она не содержала ни нулей, ни девяток, полагая, например, b_n= 2, если a_nn= 1 и b_n= 1, если a_nn1, то доказательство становится корректным.

Упражнение: Доказать, что существует биекция между

1). [0, 1] и (0, 1), 2). [0, 1] и [0, 1), 3). [0, 1] и (0, 1 ].

Утверждение 4:  [a, b ] = [c, d ]  , если a< b и c< d.

Доказательство: Надо установить биекцию:

[a, b]  [c, d]. Ее легко построить, рассмотрев рисунок:

Для построения требуемой биекции достаточно выписать уравнение прямой, проходящей через точки А (а, с) и В (b, d).

Что и требовалось доказать.

Таким образом (с учетом результатов упражнения 4) получаем, что все отрезки, интервалы и полуинтервалы - равномощны (они имеют мощность континуум).

Утверждение 5:  R  = ₁.

Доказательство: В силу утверждения 4 (0, 1)  (- ; ). Биекцию же между (- ; ) и R дает отображение тангенс:

tg: (- ; )  R. Таким образом, множество всех действительных чисел имеет мощность континиум.

Можно доказать, что если есть множество некоторой мощности, то всегда можно построить множество большей мощности. В частности, если А - некоторое множество, то его мощность  А  <  Р(А) . Известно (см. [12]), что  Р(N)  = ₁, а мощность множества всех непрерывных на [0. 1] функций больше _1. Естественно, что Р(R ), больше _1. Однако RR и RRR равны _1.

( Доказательство и подробное обсуждение есть в книгах [11] и [12]).