§2. Композиция функций

Под композицией функций f и g будем понимать композицию отношений f и g и обозначать fg или gf. Ясно, что о композиции функций fg имеет смысл говорить, если . Однако, возникает вопрос: если даже отношение fg определено, то будет ли оно функцией? И какими свойствами обладает композиция двух функций? Ответ на первый вопрос дает теорема:

Теорема 1 (о композиции): Пусть g: AB и f: BC - функции. Тогда их композиция fg тоже является функцией, причем

1. D _fg={xA| g(x)D_f}

2. (fg)(x)=f(g(x)) для каждого xD _fg

3. fg={(x, f(g(x))|x (g(x) D_f}

Доказательство:

По определению композиции отношений имеем: fg={(x, y)| zB ((x,z)g(z,y)f)}. Так как g - функция, то для каждого x существует единственный zB, а так как f - функция, ему не может соответствовать более одного y из C, поэтому если (x, y)  fg и (x, y₁)  fg, то y=y₁, так как z - один и тот же. Далее, из этого же равенства, если (x, y) g, то xD_g и z=g(x) (1), а если (x,y) f и f - функция, то z=g(x)D_f (2) и y=f(z)=f(g(x)) (3). Чтобы композиция была определена (z существовал) необходимо и достаточно, чтобы g(x) D_f , но это и означает, что D_fg={xA| g(x) D_f} , свойства 2) и 3) автоматически следуют из равенств (2) и (3).

Что и требовалось доказать.

Упражнение 1: Пусть f: AB и g: BC - функции. Что является областью определения функции gf, если:

1. f - функция, g - отображение

2. f - отображение, g - функция

3. f и g – отображения?

Вернемся к свойствам композиции.

Теорема 2: Пусть f: AB и g: BC - функции. Тогда:

1. если f и g инъективны, то gf инъективна

2. если f и g сюръективны, то gf сюръективна

3. если f и g биективны, то gf биективна.

Доказательство:

1. Пусть x₁, x₂D_gf и x₁x₂. Пусть y₁=(gf)_(x1), а y₂= (gf)_(x2), но по теореме 1 y₁=g(f(x₁)) и y₂=g(f(x₂)). Но f(x₁)f(x₂), в силу инъективности f, а значит g(f(x₁)) g(f(x₂)) в силу инъективности g.

2. самостоятельно

3. следует из а) и б)

Что и требовалось доказать.

Замечание: Если f и g вещественные функции, то gf или fg называют сложной функцией.

Пример 11: f: RR, x  sin x, g: RR, g: x  , тогда fg : x sin , gf : x  . Найдите D_gf и D_fg.

Свойство 1(композиции): (f g) h= f (g h).

Доказательство следует из соответствующего свойства отношений.

§3. Обратные отображения.

Пусть f: A  B – функция. Нам следует ответить на вопрос: когда отношение f ^-1 будет функцией? Вспомним пример 2б) из §1. Там g – отображение, а вот отношение g ^-1 не является таковым, поскольку g={(c, a); (c, b)}.

Прежде чем переходить к более подробному обсуждению, введем некоторые понятия, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Определение 1: f: AB, при этом y=f(x). Тогда множество

f^–1(y)={x|f(x)=y}A называется полным прообразом элемента y.

Пусть CA. Множество f(C)={y|xCy=f(x)}B называется образом множества C. Если DB, множество f^–1(D)={x|f(x)D}A называется полным прообразом множества D.

Теорема (основное свойство биекции): Если f - биективное отображение множества X на множество Y и A и B подмножества X, то f(AB)=f(A) f(B). (образ пересечения равен пересечению образов).

Доказательство:

Пусть yf(AB)  xAB, такое что y=f(x)  xA  xB  f(x)f(A)  f(x)f(B)  f(x)=y  f(A)f(B).

Обратно, пусть y f(A)f(B)  yf(A)  yf(B), тогда, поскольку f – биекция, значит, у y есть единственный прообраз - x, причем xA  xB  xAB  f(x)=yf(AB).

Что и требовалось доказать.

Замечание 1: Требование биективности можно ослабить и заменить инъективностью (докажите).

Замечание 2: Для произвольной функции выполняется лишь f(AB)f(A)f(B). (докажите и приведите пример, когда обратное включение не имеет места)

Определение 2: тождественным отображением множества X на себя называется тождественное отношение на X, то есть I_X: XX по правилу

I_X: x  x.

Теперь мы готовы приступить к ответу на поставленный в начале параграфа вопрос. Ответ на него дает критерий:

Теорема (критерий инъективности): функция f: A B инъективна тогда и только тогда, когда f ^-1: B A является функцией.

Доказательство:

Отношение f ^-1 является функцией тогда и только тогда, когда

(z, x)f ^-1(z, y) f ^–1  x=y  (x, z)f  (y, z)f  x=y  z=f(x)  z=f(y)  x=y  (в силу транзитивности равенства и того, что x, y D_f) f(x)=f(y)  x=y. Но это и есть требование инъективности.

Что и требовалось доказать.

Следствие 1: если f инъективна, то f^-1 тоже инъективна. (самостоятельно)

Следствие 2: если f биективное отображение A на B, то f ^-1 тоже биективное отображение B на A.

Пусть функция f: AB инъективна и aD_f, тогда f(a) E_f. Ясно, что f^–1(f(a))=a, так как если бы полный прообраз элемента f(a) состоял не из одного элемента, то это противоречило бы инъективности f. С другой стороны, если bE_f, то, поскольку E_f= , b и так как f^-1 - функция, b=f(f^-1(b)). Тем самым доказано важное свойство инъективной функции:

Теорема: если функция f инъективна, то

f ^-1 f = и f f ^–1= .

Следствие 1: если f биекция A на B, то

f ^-1 f = I_A и f f ^–1= I_B..

Замечание: это утверждение можно обратить.

Определение 3: биективное отображение множества A на себя называется преобразованием множества A.

Следствие 2: если f есть преобразование множества A , то f ^-1 f = f f ^–1= =I_A..

Далее. Если функции f: AB и g: B C инъективны, то gf - тоже инъективна и значит определена (gf)^-1, которая, по соответствующему свойству отношений, равна f ^–1  g ^-1 и действует из C в A. Оформим этот факт в виде утверждения:

Свойство 2 (композиции функций): если f и g инъективны и gf функция, то (gf)^-1= f ^–1  g ^-1.

Следствие: если f: AB и g: B C биективные отображения, то (gf)^-1 есть биекция C на A, при этом

(gf)^-1= f ^–1  g ^-1.