Глава IV. Отображения и функции.

§1. Определения и основные свойства.

Определение 1: Бинарное отношение  между множествами A и B(AB) называется функцией, если abac  b= c. То есть если xA существует не более одного элемента yB такого, что xy.

Если xy, то нам удобно будет записывать y=(x), при этом первый элемент пары (x, y) будем называть аргументом, а второй- значением функции на элементе x, или просто функция от x .

Функции обычно обозначаются строчными буквами латинского алфавита f, g, h, ... или специальными наборами символов, таких как sin, log, ...

Говорят, что функция f действует из A в B и записывают это так: f:AB, если при этом x f y, то есть y=f(x), то говорят, что функция f отображает элемент x в y и записывают так: f: x y. Или говорят, что y есть образ элемента x при отображении f, а x есть прообраз y. Последнее обозначение удобно, когда следует явно указать закон, по которому действует функция.

Пример 1: f: AA, где A={-1; 0; 1} по правилу f: x x³.

Пример 2: Это пример того, что не всякое отношение является функцией

а) f - не является функцией б) g - является функцией

Поскольку всякая функция, действующая из A в B, является отношением на множествах A и B, то можно дать следующее определение:

Определение 2: Областью определения функции f: AB называется область определения отношения fAB, то есть D_f={xA| yB ((x,y)f)}={xA| yB (x f y)}={ xA| yB (y=f(x))}, то есть D_fA.

Определение 3: Областью значений функции f: AB называется область значений отношения fAB, то есть E_f={yB| xA ((x, y) f)}= {yB| xA (x f y)}= {yB| xA ( y=f(x))}, то есть E_fB.

Определение 4: Две функции f: AB и g: AB называют равными и пишут f=g тогда и только тогда, когда они равны как подмножества прямого произведения AB, то есть если (x, y)f (x, y)g.

Замечание: Ясно, что если f=g, то D_f=D_g и E_f=E_g.

Вопрос: Верно ли обратное утверждение? Если нет, то приведите пример.

Определение 5: Функция f: AB называется отображением, если ее область определения совпадает с A (D_f=A). При этом говорят, что f отображает множество A в (или на) множество B.

Примеры:

3. sin: RR , отображение множества R в R

4. ln: RR – функция, действующая из R в R. D_ln={xR| x>0}=R₊. ln: R₊R – здесь уже является отображением множества R₊ на все R.

Определение 6: Функция f: AR называется функцией, принимающей действительные значения. Функцию f: RR называют действительной (вещественной) функцией.

Определение 7: Если f: AB и A есть прямое произведение множеств A₁A₂...A_n, то говорят, что f есть функция n переменных. Тогда вместо f((x₁, x₂,..., x_n))пишут f(x₁, x₂,..., x_n).

В частности: f(x, y) - функция двух переменных, f(x, y, z) - функция трех переменных.

Примеры:

5. f: RRR. f(x, y)  x+y, то есть (x, y, x+y)fR³. В этом случае можно писать z=x+y.

6. f: NN  Q. f(x, y)  x/y, можно записать z=x/y

В математике часто используются функции и отображения, которые обладают некоторыми очень важными свойствами.

Определение 8: Функция f: AB называется сюръективной («на», то есть действует из A на B) если E_f=B. Или: .

Другими словами: у каждого элемента из B есть прообраз в A.

Определение 9: Функция f: AB называется инъективной, если .

Условие инъективности можно записать следующим образом: x,yD_f(xyf(x)f(y))(почему?)

Определение 10: Функция f: AB называется биективной, если она инъективна и сюръективна .Если D_f=A, то говорят, что f - биекция или взаимно-однозначное отображение множества A на множество B.

Примеры:

7. отображение из примера 2 б) сюръективно, но не инъективно

8. sin: R[-1;1] сюръективно, но не инъективно, а вот sin: [-/2;/2][-1;1] – биекция

9. exp: R R. exp: x  e^x инъективно, но не сюръективно

10. f: N {натуральные, четные}; f: n  2n - биекция