§4. Отношение порядка.

Из понятия равенства (например, чисел) возникает математическое понятие эквивалентности. А из понятия неравенства возникает другой тип отношений, которые называются отношениями порядка.

Определение 1: Частичным порядком на множестве А называется бинарное отношение, которое рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Частичный порядок - это обобщение отношения  на R. Можно ввести понятие строгого порядка, соответствующего отношению < на R. Отношение строгого порядка - только транзитивно(оно еще и антирефлексивно).

Если задан , то можно определить <: a<b  ab  ab. Если задан <, то можно определить : ab  a<b  a=b.

Множество, на котором задано отношение порядка, будем обозначать

(X, ) (или (X, <), если порядок строгий).

Определение 2: Множество, на котором задано отношение порядка, называется частично упорядоченным.

Пример: A - множество. (P(A),), легко проверить, что отношение  является отношением порядка на P(A).

Определение 3: Отношение порядка R на А называется полным (линейным) порядком, если  x, yA (xR y  yR x). Множество (A, R) называется линейно упорядоченным.

Примеры:

1. отношение  на R является отношением полного порядка. Таким образом (R, ) - линейно упорядочено.

2. а вот (P(A),) не является линейно упорядоченным

3. xy  y x на множестве N не является полным порядком

Определение 4: пусть (A, ) – частично упорядоченное множество. Элемент аА называется наименьшим /наибольшим/ в А, если  xA (a x) /x  a /. Элемент bА называется минимальным /максимальным/ если  xA (x a  x=a) /a  x  a=x /.

Задача: Доказать, что для линейно упорядоченного множества понятия наибольшего (наименьшего) и максимального (минимального) элементов совпадают. Привести пример частично упорядоченного множества, где они не совпадают.

§5. Композиция отношений

Пусть заданы множества A, B и C и отношения S между A и B (то есть SAB) и R между B и C (RBC). Определим новое отношение между A и C следующим образом:

Определение 1: Множество всех пар (x, y), таких, что существует zB такое, что (x, z) S и (z, y) R называется композицией отношений S и R . Обозначается: R  S . Таким образом, R  S  A  C .

R S = {(x, y)| zB((x,z)S(z,y)R)} или x R  Sy  zB(xSzzRy).

Пример 1: Пусть A={1, 2, 3}, B={1, 2, 3, 4, 5, 6}, C={3, 6, 9, 12},  ={(1,2), (2,4), (3,6)}, ={(1,3), (2,6), (3,9), (4,12)}. Тогда   ={(1,6), (2,12)}.

Проиллюстрируем ситуацию на картинке:

Пример 2: Пусть  и  - отношения на N такие, что

 = {(x,x+1)xN} и  = {(x²,x)xN}. Тогда D_ = {x²xN}={1,4,9,16,25,...}, а D_= N.

D_={xxN  x+1=y²}={3,8,15,24,...}.

В случае, когда отношение задано на множестве, оно может быть скомбинировано с самим собой:

 = ² = {(x,x+2)xN} и  = ² = {(x⁴,x)xN}.

Используя это обозначение, можно определить энную степень отношения:

, где nN, n>1.

Например, для отношений из примера 2 имеем:

,

Хотелось бы дополнить аналогию с умножением. Для этого введем следующее естественное определение:

Определение 2:Бинарные отношения называются равными, если они равны как подмножества, то есть R=S, еслиx,y((x,y)R(x,y)S).

Понятно, что отношения должны быть определены на одних и тех же множествах.

Теорема (свойства композиции отношений): Для любых бинарных отношений R, S, T имеют место равенства:

1. (RS)T = R(ST)

2. (RS)^-1 = S^-1 R^-1

Доказательство:

1. Для любых x и y имеем:

x(RS)Ty  z(xTz(zRSy))  zt(xTz(zSttRy))  zt((xTzzSt)tRy)  t((z(xTzzSt))tRy)  t((xSTt)tRy)  xR(ST)y.

2) x(RS)^-1y  yRSx  z(ySzzRx)  z(xR^-1zzS^-1y)  xS^-1R^-1y.

Что и требовалось доказать.

Замечание: если R - отношение на множестве A, то ясно, что I_AR=RI_A=R. То есть I_A ведет себя как единица при умножении чисел. Однако полной аналогии провести нельзя. Поскольку, например, коммутативность, в общем случае места не имеет, так как RS может быть определено, а SR нет. Также как и не всегда имеет смысл равенство R^-1R=RR^-1= I_A.