§2. Свойства отношений

Об общих отношениях как подмножествах прямых произведений можно сказать очень мало. Поэтому есть смысл изучать только специальные отношения, обладающие некоторыми свойствами. Здесь мы разберем основные свойства бинарных отношений.

Определение 1: Пусть R- бинарное отношение на множестве A. Тогда

1. R - рефлексивно, если  xA x R x

2. R - симметрично, если x R y  y R x

3. R - транзитивно, если x R y  y R z  x R z

4. R - антисимметрично, если x R y  y R x  x=y.

Рассмотрим примеры:

1. Пусть = {(x, y)| x, yN и x – делитель y}

={(x, y)| x, yN и xy}

={(x, y)| x, yN\{1} и (x и y имеют общий делитель)}.

Изучим свойства этих отношений:

 - рефлексивно: x делитель x xN; несимметрично: 2 делитель 4, 4 – не делитель 2; транзитивно: x делитель y, y делитель z  x делитель z; антисимметрично: если x делит y и y делит x, òî x=y.

 - рефлексивно, несимметрично, транзитивно, антисимметрично;

 -рефлексивно, симметрично, но не транзитивно(3 и 6, 6 и 8) и не антисимметрично

Замечание: свойства симметричности и антисимметричности не являются взаимоисключающими. Отношение I_X на любом множестве X является симметричным и антисимметричным.

2. P- множество всех людей. Зададим отношение B: x B y  x брат y. Рассмотрев семью, состоящую из двух братьев p и q и сестры r, имеем:

pBr, но не r B p- B не симметрично. Оно и не антисимметрично pBq, qBp, но pq. Граф этого от ношения приведен ниже.

3. Задача: Найти ошибку в рассуждении: Если отношение R симметрично и транзитивно, то оно рефлексивно:

Доказательство: aRbbRaaRa.

Построить контрпример на множестве {1,2,3}.

§3. Отношение эквивалентности.

Во многих вычислительных задачах берутся большие множества и разбиваются таким образом, чтобы все интересующие нас ситуации можно было исследовать на нескольких правильно выбранных примерах.

Определение 1:Пусть A   и {A_i},i= совокупность подмножеств таких, что A= . Тогда совокупность этих подмножеств называется покрытием множества A.

Например, {A, B}- покрытие AB; {A, AB, B, C}-покрытие ABC.

Замечание: В общем случае покрытие может быть и бесконечным. однако с точки зрения изучения конкретных свойств такая ситуация не вызывает энтузиазма.

Определение 2: Разбиением непустого множества А называется такое его покрытие , что если i j, то A_iA_j=.

Например, {A, A’} – разбиение U.

{AB, AB’, A’B, A’B’} – разбиение U,

{A\B, AB, B\A} – разбиение AB.

Организовать разбиение непустого множества можно при помощи отношений, которые ведут себя подобно отношениям равенства на множестве чисел или множеств.

Определение 3: Бинарное отношение на множестве называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Примеры:

1. На множестве всех треугольников: {(x, y)| x и y имеют одинаковую площадь}

2. На множестве всех программ: {(a, b)| a, b вычисляют одну и ту же функцию на конкретной машине}

Определение 4: Пусть R – отношение эквивалентности на множестве А и xA. Классом эквивалентности порожденным элементом х называется множество {y| xR y}=[x]_R.

Определение 5: Любой элемент класса эквивалентности называется представителем этого класса. Полной системой представителей называется множество представителей, по одному из каждого класса.

Пример 3:

N – натуральные числа, s – фиксированный элемент. На Z определено отношение: _s= {(x, y)| x-y=ns, nZ}. Отношение сравнения по модулю s ( запись: xy(mod s)).

Нетрудно проверить, что отношение сравнения по модулю s, есть отношение эквивалентности на множестве Z.

Пусть, например, s=10. Тогда:

[1] = {11,21,-9,10 976 631,.... }

[1066] = {66,226,-24,... }

На самом деле есть всего 10 классов эквивалентности по этому отношению, а числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 образуют полную систему представителей. Классы эквивалентности по этому отношению эквивалентности называют классами вычетов по модулю s.

Определение 6: Фактор-множеством множества А по отношению эквивалентности R называется множество всех классов эквивалентности по этому отношению и обозначается A/R.

Множество классов вычетов по модулю s обозначают Z_s.

Имеет место

Теорема (о разбиении): Пусть R - отношение эквивалентности на непустом множестве А. Тогда фактор-множество A/R является разбиением множества А.

Доказательство:

xA( x[x]_R). Надо доказать, что каждый элемент множества А принадлежит в точности одному классу. То есть, докажем, что если классы имеют хотя бы один общий элемент, то они совпадают. Пусть c[a] и c[b]. Пусть x[a], но тогда x R a, a R c, c R b  x R b(транзитивность R). Значит, [a]  [b]. ( где рефлексивность? а она есть!) Аналогично [b]  [a].

Что и требовалось доказать.

Имеет место и обратное утверждение. Пусть S- разбиение множества А и R_s – бинарное отношение на A, такое что: R={(x,y)x и y принадлежат одному элементу разбиения }, тогда R , будем называть– отношением, определяемым разбиением S.

Теорема (обратная): Отношение R на А, определяемое разбиением S, является отношением эквивалентности на А, причем A/R_s=S.(самостоятельно)

Упражнения:

1. Пусть А- конечное множество. Какие отношения эквивалентности дают наибольшее и наименьшее число классов эквивалентности.

2. Если {A₁, A₂, ..., A_n}- разбиение А и А конечно, то .