Принимаем решение о принятии проекта: наиболее выгодным является проект №3.

1.3. Норма рентабельности инвестиций (IRR)

Норма рентабельности инвестиций - это ставка дисконта, при которой приведены выгоды равны приведенным расходам, то есть IRR - это ставка дисконта r = r *, при которой NPV = f (r *) = 0.

Расчет IRR проводится путем решения уравнения:

_n P_{k m} IC_j

 ––––––– -  –––––––– = 0 (3)

^k=1 (1+ r^*)^{k j=1} (1 + r^*)^j

которая осуществляется следующими методами:

a) метод "проб и ошибок"; подставляя ряд значений нормы дисконта в уравнение (3), определяют то значение r *, при котором NPV проекта равен нулю:

NPV = f (r *) = 0;

б) метод последовательных итераций. Определяют методом подбора или другими методами два значения нормы дисконта r₁ <r₂ таким образом, чтобы в интервале (r₁, r₂) функция NPV = f (r) меняла знак на противоположный. Далее IRR определяется по формуле:

f(r₁)

IRR = r₁ + --------------- · (r₁ – r₂), (4)

f(r₁) – f(r₂)

где r₁ – значение нормы дисконта при котором f(r₁) > 0, или f(r₁) < 0;

r₂ – значение нормы дисконта при котором f(r₂) > 0, или f(r₂) < 0.

Точность расчетов по этому методу обратно пропорциональна длине интервала (r₁, r₂);

в) графически-аналитический метод, который предусматривает построение профиля NPV - точка пересечения кривой NPV с осью нормы дисконта определяет внутреннюю норму рентабельности.

Условия принятия решений:

IRR> CC, то проект должен быть принятым;

IRR <CC, то проект должен быть отклонен;

IRR = CC, то проект и не прибыльный и не убыточный (должен быть отклонен),

где CC - стоимость авансированного капитала.

Стоимость авансированного капитала в данном случае принимаем ориентируясь на среднее значение банковского процента по кредитам.

1-й проект:

200000 210000 230000

–––––– + –––––– + –––––– – 250000 = 0;

(1+ r^*)¹ (1+ r^*)² (1+ r^*)³

Выполнив математические преобразования, получим уравнение:

25(1+ r^*)³ – 20(1+ r^*)² – 21(1+ r^*) – 23 = 0.

Решение осуществляем методом последовательных итераций. Определим методом подбора два значения нормы дисконта r₁ <r₂ таким образом, чтобы в интервале (r₁, r₂) функция NPV = f (r) меняла знак на противоположный.

Таблиця 4. Итерации для решения уравнения для 1-го проекта инвестиций

	№п/п	r1	r2	f(r1)	f(r2)	IRR
	1	0,00000	1,00000	-39,0000	55,0000	-0,41489
	2	0,50000	1,00000	-15,1250	55,0000	0,39216
	3	0,50000	0,75000	-15,1250	12,9844	0,36548
	4	0,62500	0,75000	-2,6621	12,9844	0,60373
	5	0,62500	0,68750	-2,6621	4,7449	0,60254
	6	0,62500	0,65625	-2,6621	0,9396	0,60190
	7	0,64063	0,65625	-0,8864	0,9396	0,63304
	8	0,64063	0,64844	-0,8864	0,0203	0,63299
	9	0,64453	0,64844	-0,4346	0,0203	0,64080
	10	0,64648	0,64844	-0,2076	0,0203	0,64471
	11	0,64746	0,64844	-0,20758	0,0203	0,64657
	12	0,64795	0,64844	-0,0368	0,0203	0,64763
	13	0,64819	0,64844	-0,0083	0,0203	0,64812
	14	0,64819	0,64832	-0,0083	0,0060	0,64812
	15	0,64825	0,64832	-0,0011	0,0060	0,64824
	16	0,64825	0,64828	-0,0011	0,0024	0,64824
	17	0,64825	0,64827	-0,0011	0,0007	0,64824
	18	0,64826	0,64827	-0,0002	0,0007	0,64826
	19	0,64826	0,64827	-0,0002	0,0002	0,64826
	20	0,64826	0,64826	-0,0002	0,0000	0,64824
	21	0,64826	0,64826	-0,0001	0,0000	0,64826
	22	0,64826	0,64826	-0,0001	0,0000	0,64826
	23	0,64826	0,64826	0,0000	0,0000	0,64826

IRR определяем по формуле:

f(r₁)

IRR = r₁ + --------------- · (r₁ – r₂),

f(r₁) – f(r₂)

где r₁ – значение нормы дисконта при котором f(r₁) > 0, або f(r₁) < 0;

r₂ – значение нормы дисконта при котором f(r₂) > 0, або f(r₂) < 0.

Точность расчетов по этому методу обратно пропорциональна длине интервала (r₁,r₂);

Решением уравнения для 1-го варианта есть:

NPV = f(r^*) = 0 при IRR ₁ = 0,64826 ≈ 0,65

2-й проект:

110000 120000 130000

––––––– + ––––––– + ––––––– – 150000 = 0;

(1+ r^*)¹ (1+ r^*)² (1+ r^*)³

Выполнив математические преобразования, получим уравнение:

15(1+ r^*)³ – 11(1+ r^*)² – 12(1+ r^*) – 13 = 0.

Решением уравнения для 2-го варианта есть: NPV = f(r^*) = 0 при

ІRR₂ = 0.58388 ≈ 0.58

Таблица 5 Итерации для решения уравнения для 2-го проекта инвестиций

	№п/п	r1	r2	f(r1)	f(r2)	IRR
	1	0,00000	1,00000	-21,0000	39,0000	-21,0000
	2	0,50000	1,00000	-5,1250	39,0000	0,44193
	3	0,50000	0,75000	-5,1250	12,7031	0,42813
	4	0,50000	0,62500	-5,1250	2,8184	0,41935
	5	0,56250	0,62500	-1,3850	2,8184	0,54191
	6	0,56250	0,59375	-1,3850	0,6574	0,54131
	7	0,57813	0,59375	-0,3785	0,6574	0,57242
	8	0,57813	0,58594	-0,3785	0,1358	0,57238
	9	0,58203	0,58594	-0,1223	0,1358	0,58018
	10	0,58203	0,58398	-0,1223	0,0065	0,58018
	11	0,58301	0,58398	-0,0579	0,0065	0,58213
	12	0,58350	0,58398	-0,0257	0,0065	0,58311
	13	0,58374	0,58398	-0,0096	0,0065	0,58359
	14	0,58386	0,58398	-0,0015	0,0065	0,58384
	15	0,58386	0,58392	-0,0015	0,0025	0,58384
	16	0,58386	0,58389	-0,0015	0,0005	0,58384
	17	0,58388	0,58389	-0,0005	0,0005	0,58387
	18	0,58389	0,58389	0,0000	0,0005	0,58388
	19	0,58389	0,58389	0,0000	0,0002	0,58388
	20	0,58389	0,58389	0,0000	0,0001	0,58388
	21	0,58389	0,58389	0,0000	0,0000	0,58388

3-й проект:

250000 270000 310000

––––––– + ––––––– + ––––––– – 300000 = 0;

(1+ r^*)¹ (1+ r^*)² (1+ r^*)³

Выполнив математические преобразования, получим уравнение

30(1+ r^*)³ –25(1+ r^*)² – 27(1+ r^*) – 31 = 0.

Решением уравнения для 3-го варианта есть: NPV = f(r^*) = 0 при IRR₃ = 0.71176 ≈ 0.71

Таблица 6. Итерации для решения уравнения для 3-го проекта инвестиций

c	№п/п	r1	r2	f(r1)	f(r2)	IRR
	1	0,00000	1,00000	-53,0000	55,0000	-0,49074
	2	0,50000	1,00000	-26,5000	55,0000	0,33742
	3	0,50000	0,75000	-26,5000	5,9688	0,29596
	4	0,62500	0,75000	-12,1602	5,9688	0,54115
	5	0,68750	0,75000	-3,5913	5,9688	0,66402
	6	0,68750	0,71875	-3,5913	1,0621	0,66338
	7	0,70313	0,71875	-1,2959	1,0621	0,69454
	8	0,71094	0,71875	-0,1248	1,0621	0,71012
	9	0,71094	0,71484	-0,1248	0,4667	0,71011
	10	0,71094	0,71289	-0,1248	0,1704	0,71011
	11	0,71094	0,71191	-0,1248	0,0227	0,71011
	12	0,71143	0,71191	-0,0511	0,0227	0,71109
	13	0,71167	0,71191	-0,0142	0,0227	0,71158
	14	0,71167	0,71179	-0,0142	0,0042	0,71158
	15	0,71173	0,71179	-0,0050	0,0042	0,71170
	16	0,71176	0,71179	-0,0004	0,0042	0,71176
	17	0,71176	0,71178	-0,0004	0,0019	0,71176
	18	0,71176	0,71177	-0,0004	0,0008	0,71176
	17	0,71176	0,71177	-0,0004	0,0002	0,71176
	19	0,71176	0,71177	-0,0001	0,0002	0,71176
	20	0,71176	0,71176	-0,0001	0,0001	0,71176
	21	0,71176	0,71176	-0,0001	0,0000	0,71176
	22	0,71176	0,71176	-0,0001	0,0000	0,71176
	23	0,71176	0,71176	-0,0001	0,0000	0,71176
	24	0,71176	0,71176	-0,0001	0,0000	0,71176
	25	0,71176	0,71176	-0,0001	0,0000	0,71176
	26	0,71176	0,71176	0,0000	0,0000	0,71176

Стоимость авансированного капитала CC в данном случае принимаем ориентируясь на среднее значение банковского процента по кредитам и равна норме дисконта: CC = r = 0.20

Таблица 7. Результаты расчета IRR.

№ з/п	Величина инвестиций IC, руб.	Денежные потоки по годам. P, руб.			IRR	Решение о принятии проекта
		P1	P2	P3
1	250 000	200 000	210 000	230 000	0.65	IRR > СС - проект принят
2	150 000	110 000	120 000	130 000	0.58	IRR > СС - проект принят
3	300 000	250 000	270 000	310 000	0.71	IRR > СС - проект принят

Принимаем решение о принятии проекта: наиболее выгодным является проект №3.

1.4. Срок окупаемости инвестиций (PP)

Срок окупаемости инвестиций или срок возврата капитала показывает период времени возмещения расходов инвестиционного проекта денежными поступлениями.

Выбор по критерию срока окупаемости означает выбор проектов с минимальным сроком окупаемости. Алгоритм расчета срока окупаемости зависит от равномерности распределения прогнозируемых доходов от инвестиций. Когда доход распределен по годам равномерно, то срок окупаемости рассчитывается делением равно временных затрат на величину годового дохода. При получении дробного числа оно округляется в сторону увеличения до ближайшего целого. Когда прибыль распределена неравномерно, то срок окупаемости рассчитывается прямым подсчетом числа лет, в течение которых инвестиция будет погашена кумулятивным доходом. Срок окупаемости инвестиций определяется по формуле:

_n P_k

PP = n, при котором  ––––––– > IC (5)

^k=1 (1+ r) ^k

1-й проект:

200000 210000 230000

–––––––– + –––––––– + –––––––– = 445602 > IC = 250000;

(1+ 0.20)¹ (1+ 0.20)² (1+ 0.20)³

Данная инвестиция буде погашена за 2 года: PP = 2.

2-й проект:

110000 120000

––––––– + ––––––– = 175000 > IC = 150000;

(1+ r^*)¹ (1+ r^*)²

Данная инвестиция буде погашена за 2 года: PP = 2.

3-й проект:

250000 270000

––––––– + ––––––– = 395833 > IC = 300000;

(1+ r^*)¹ (1+ r^*)²

Данная инвестиция буде погашена за 2 года: PP = 2.

Выбор по критерию срока окупаемости означает выбор проектов с минимальным сроком окупаемости.

Таблица 8. Результаты расчета PP

№ п/п	Величина инвестицій IC, руб.	Денежные потоки по годам. P, руб.			PP	Решение о принятии проекта
		P1	P2	P3
1	250 000	200 000	210 000	230 000	= 2	проект принят
2	150 000	110 000	120 000	130 000	= 2	проект принят
3	300 000	250 000	270 000	310 000	= 2	проект принят

Принимаем решение о принятии проекта: наиболее выгодным является проект №2.

Таблица 9. Выбор инвестиционного проекта из ряда альтернативных

№ з/п	NPV	PI	IRR	PP	Рішення про прийняття проекту
1	195 602 > 0	1.78 > 1	0.65 > CC=0.20	= 2	проект прийнятий
2	100 231 > 0	1.67 > 1	0.58 > CC=0.20	= 2	проект прийнятий
3	275 231 > 0	1.92 > 1	0.71 > CC=0.20	= 2	проект прийнятий

Вывод. Выбор инвестиционного проекта из ряда альтернативных с одинаковыми сроками реализации по всем показателям, сведенным в таблице 9: наиболее подходящим является 3-й проект.

2. Анализ и выбор инвестиционного проекта из ряда альтернативных с разными сроками реализации

Во многих случаях сравниваются проекты, которые имеют разные сроки реализации. Например, сравниваются проекты А и Б, рассчитанные соответственно на n и m лет, с целью выбора наиболее привлекательного. Методика их оценки такова:

1) найти наименьшее общее кратное (НОК) сроков действия проектов:

Т = НОК (m, n);

2) определить NPV проектов А и Б, которые условно реализуются на протяжении периода T необходимое количество раз;

3) определить суммарный NPV потока денежных средств для каждого повторяемого проекта,

4) выбрать проект с наибольшим значением суммарного NPV повторяемого потока.

Суммарный NPV потока повторяется, определяется по формуле:

1 1

NPV_{(n, k)} = NPV_(n) · [ 1 + ––––– + –––––– + ... ], (6)

(1+ r) ⁿ (1+ r) ²ⁿ

де NPV_(n) – чистый приведенный эфект исходного повторяемого проекта;

n - срок реализации проекта в годах;

k - число повторений исходного проекта (оно характеризует количество слагаемых в скобках).

Схема определения суммарных NPV потоков повторяющихся для проектов А и Б продолжительностью соответственно 2 и 3 года приведена на рисунках 2 и 3.

NPV_A NPV_A

Σ NPV_A(2,3) = NPV_A + –––––– + ––––––

(1 + r)² (1 + r)⁴

Рисунок 1 – Схема определения суммарного NPV повторяемого потока

(n = 2 при T = 2 x 3 = 6)

NPV_Б

Σ NPV_Б(3,2) = NPV_Б + ––––––

(1 + r)³

Рисунок 2 – Схема определения суммарного NPV повторяемого потока (m = 3 при T = 3 x 2 = 6)

1) Наименьшее общее кратное (НОК) сроков действия проектов:

Т = НОК (m, n) = НОК (3, 2) = 6 лет;

2) Определение NPV проектов А и Б, которые условно реализуются на протяжении периода T необходимое количество раз:

_n P_{k m} IC_j P₁ P₂ P₃

NPV =  –––––– -  ––––––– = ––––– + ––––– + ––––– – IC,

^k=1 (1+ r)^{k j=1} (1 + r)^j (1+ r)¹ (1+ r)² (1+ r)³

100000 110000 130000

NPV_А(3) = –––––––– + –––––––– + –––––––– – 150000 = 84954;

(1+ 0.20)¹ (1+ 0.20)² (1+ 0.20)³

130000 140000

NPV_Б(2) = –––––––– + –––––––– – 150000 = 55556;

(1+ 0.20)¹ (1+ 0.20)²

1) Определяем суммарный NPV потока денежных средств для каждого проекта, повторяется:

Суммарный NPV потока повторяется, определяется по формуле (6):

1 1

NPV_{(n, k)} = NPV_(n) · [ 1 + ––––– + –––––– + ... ],

(1+ r) ⁿ (1+ r) ²ⁿ

где NPV (n) - чистый приведенный эффект исходного проекта, который повторяется;

n - срок реализации проекта в годах;

k - кисло повторений исходного проекта (оно характеризует количество слагаемых в скобках). 1 84954

NPV_{А(3, 2)} = NPV_А(3) · [ 1 + –––––– ] = 84954 + ––––––––– ≈ 155749;

(1+ r)³ (1 + 0.20)³

1 1 55556 55556

NPV_{Б(2, 3)} = NPV_Б(2) · [ 1 + –––––– + ––––––] = 55556 + ––––––––– + ––––––––– ≈

(1+ r)² (1+ r)⁴ (1 + 0.20)² (1 + 0.20)⁴

≈ 120936

Вывод. Выбираем проект с наибольшим значением суммарного NPV потока повторяется - 3-летний проект А.