Задание № 6.

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

Исходные данные для решения задачи

Номер варианта	Интеграл	Интеграл
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Решение типовых задач

Задание № 1.

1. Вычислить определенный интеграл .

Решение.

Выполним замену переменной. Пусть , тогда , откуда . Находим новые пределы интегрирования. Если , то . Если , то , что следует из зависимости .

Тогда

Применим формулу интеграла от степенной функции и формулу Ньютона-Лейбница :

.

Ответ: .

2. Вычислить определенный интеграл .

Решение.

Используем формулу интегрирования по частям:

.

Пусть , . Находим , .

Тогда

.

Ответ: .

Задание № 2.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и . Построить фигуру.

Решение.

Построив линии, получим фигуру (рис. 12).

Рис. 12. Фигура

Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений:

.

Решим полученное квадратное уравнение:

,

,

, .

Вычисление площади осуществляем по формуле:

,

где , – кривые, ограничивающие фигуру .

Тогда

(кв. ед.).

Ответ: (кв. ед.).

Задание № 3.

Найти площадь, ограниченную линией .

Решение.

Заданная линия – трехлепестковая роза (рис. 13).

Рис.13. Фигура

Для вычисления площади фигуры в полярных координатах используем формулу

.

Найдем площадь половинки одного лепестка и умножим ее на 6:

(кв. ед.).

Ответ: кв. ед.

Задание № 4.

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной параболой , прямой и осью . Сделать рисунок фигуры вращения.

Решение.

Построив линии, получим фигуру вращения (рис. 14).

Рис. 14. Фигура вращения

Найдем абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом квадранте. Для этого приравняем правые части их уравнений:

.

Решим полученное квадратное уравнение.

,

,

, .

Первому квадранту соответствует корень .

Найдем абсциссу точки пересечения прямой с осью , решив уравнение , откуда .

Таким образом, тело ограничено при поверхностью, образованной вращением параболы вокруг оси , а при – вращением прямой .

Объем тела вращения вычисляется по формуле:

,

где , , , – уравнения линий, ограничивающих криволинейную трапецию, которая вращается вокруг оси .

Тогда искомый объем:

.

Для вычисления второго интеграла применим метод подведения под знак дифференциала:

(куб. ед.).

Ответ: (куб. ед.).

Задание № 5.

Вычислить длину дуги кривой где .

Решение.

Если уравнение кривой задано в параметрической форме:

где , то длина дуги кривой вычисляется по формуле:

.

Найдем и :

,

.

Тогда

(ед.).

Ответ: (ед.).

Задание № 6.

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

1) ;

2) .

Решение.

1) Несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом интегрирования вычислим с помощью предельного перехода:

.

2) Так как является точкой разрыва подынтегральной функции , то интеграл является несобственным.

Вычислим его с помощью предельного перехода:

.

Защита РГР № 4 «Определенный интеграл и его применение»

Теоретические вопросы:

1. Определение определенного интеграла;

2. Свойства определенного интеграла;

3. Вывод формулы Ньютона-Лейбница;

4. Геометрический смысл определенного интеграла;

5. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле;

6. Вычисление площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла;

7. Вычисление длины дуги кривой с помощью определенного интеграла;

8. Вычисление объема тела вращения с помощью определенного интеграла;

9. Несобственные интегралы.

Задачи для подготовки к защите РГР:

№ 1. Вычислить определенные интегралы:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14). .

№ 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) и ;

8) и .

Изобразить фигуру.

№ 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в полярной системе координат:

1) ;

2) , .

Изобразить фигуру.

№ 4. Вычислить длину дуги кривой:

1) ; от до ;

2) от до .

№ 5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически:

1) где ;

2) где .

№ 6. Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярной системе координат:

1) , ;

2) , .

№ 7. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, расположенной в I четверти и ограниченной параболой , прямой и осью . Сделать рисунок.

№ 8. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной гиперболой , прямыми , и осью . Сделать рисунок.

№ 9. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями . Сделать рисунок.

№ 10. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями .

№ 11. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1) ; 2)