7.1.2. Дифференцирование по параметру

Т еорема 4. Пусть функция f(x,y) и её частная производная по

переменной y непрерывны на . Тогда

.

Другими словами, производную можно вычислить путём дифференцирования под знаком интеграла.

Д оказательство. Вычислим производную по определению:

Осталось доказать, что можно перейти к пределу под знаком интеграла. Чтобы воспользоваться теоремой 3, докажем, что

П рименим теорему Лагранжа:

,где .

П о условию – непрерывна, а значит, по теореме Кантора, и

равномерно непрерывна. Отсюда следует, что

н о это и означает равномерную сходимость:

П рименяя теорему 3, получаем то, что требовалось: .

Пример 4. Найти производную функции в точке y = 2.

Решение. Можно, вычислив интеграл, найти явное выражение для функции I(y), а затем продифференцировать. Проще, однако, применить теорему 4:

При и значениях y, близких к 2, функция и её частная

производная , очевидно, непрерывны.

Пример 5. Вычислить

Решение. Найдём производную интеграла по параметру . Легко проверить, что требования теоремы 4 соблюдены, поэтому

П рименим подстановку t = tg x. Тогда

Т еперь, вычисляя интеграл, получим:

К онстанту C найти легко, так как

.

.

Научимся теперь вычислять производные в случае, если от параметра зависит не только подынтегральная функция, но и пределы интегрирования.

Теорема 5.

Доказательство. Возьмём произвольную точку и воспользуемся аддитивностью интеграла:

Найдём производную 3-го слагаемого по определению:

М ы воспользовались теоремой о среднем для определённого интеграла, а затем – непрерывностью f(x,y) и дифференцируемостью β(y). В точности так же вычисляется и производная 1-го слагаемого:

.

П роизводная 2-го слагаемого вычисляется по теореме 4:

.

Складывая все 3 слагаемые, получим требуемую формулу.

Пример 6. Найти производную функции .

Решение. Здесь требуется дифференцировать интеграл по параметру x. Действуем по формуле теоремы 5:

.

7.1.3. Интегрирование по параметру

Т еорема 6. Пусть функция f(x,y) непрерывна в прямоугольнике

Рассмотрим . Тогда

.

Или, что то же самое,

.

Доказательство. Докажем более общее соотношение. Пусть t – произвольная точка отрезка [c, d]. Докажем, что

. (*)

Н айдем производную по t от каждой части этого равенства. Применяя теорему 5 (иди давно известную нам теорему об интеграле с переменным верхним пределом), получим:

В правой части равенства (*) – интеграл, зависящий от параметра t. Дифференцируем его, применяя теорему 4:

Одинаковые результаты говорят о том, что функции в левой и правой частях равенства (*) отличаются лишь на константу:

.

Это верно . В частности, при t = c получим: 0 = 0 + C, т.е.

С = 0, и равенство доказано. Если применить его при t = d, получим утверждение теоремы.

Пример 7. Вычислить интеграл .

Решение. Интегрирование в указанном порядке затруднительно:

Пользуясь теоремой 6, изменим порядок интегрирования.

.

Интеграл вычислен. Попутно получено соотношение:

.

Приведём пример, показывающий, что при нарушении непрерывности подинтегральной функции изменение порядка интегрирования может привести к другому результату.

Пример 8. Вычислим интеграл:

.

При вычислении в другом порядке можно заметить, что если сменить знак подинтегральной функции, то получится уже рассмотренный интеграл: