Глава 7 Собственные интегралы (Римана), зависящие от параметра

Пусть f(x,y) – функция двух переменных, определённая на прямоугольнике

Е сли для любого существует интеграл , то этот интеграл является функцией от переменной y (которая и называется здесь параметром):

Таким образом, мы получаем новый способ задания функции – в виде интеграла, зависящего от параметра, т.е. определяемые т.о. функции часто используют в математических рассуждениях и приложениях.

Следует иметь ввиду, что

Пример 1. Рассмотрим функцию

В этом примере интеграл легко вычислить:

Значит, можно задать и обычным способом:

Однако часто встречаются интегралы, которые не выражаются через элементарные функции. Тогда приходится работать с функцией, заданной в виде интеграла с параметром. Значит, нужно научиться работать с такими функциями – в частности, знать правила их дифференцирования и интегрирования.

Возможна и более сложная ситуация, когда от параметра зависит не только подынтегральная функция, но и пределы интегрирования:

Основные теоремы

7.1.1. Предельный переход под знаком интеграла

Теорема 1 (о непрерывности интеграла с параметром).

Е сли функция f(x,y) непрерывна на прямоугольнике то

функция непрерывна на отрезке

Доказательство. По теореме Кантора, непрерывная на компактном множестве ∆ функция является равномерно непрерывной, т.е.

В озьмём Тогда из равномерной непрерывности следует:

Оценим теперь приращение функции I(y):

Итак, что и означает непрерывность функции I(y).

Замечание. В теореме 1 требуется, чтобы f(x,y) была непрерывной по обеим переменным в совокупности, т.е. чтобы

Н едостаточно, чтобы f(x,y) была непрерывной по каждой из переменных. Например, функция

н епрерывна по x (при любом фиксированном y), и непрерывна по y (при любом фиксированном x). Однако она не является непрерывной в точке (0,0) функцией (по совокупности переменных): предел не

с уществует. В данном случае не справедлив и вывод теоремы 1; например, функция

разрывна в точке y = 0.

Так как непрерывность в точке I(y) означает, по определению, что

в любой точке y₀, то непосредственно из теоремы 1

вытекает

Теорема 2 (о предельном переходе под знаком интеграла).

Если f(x,y) непрерывна на то для любого

Е сли – непрерывные функции , а f(x,y) непрерывна на множестве

т о можно доказать, что

Это утверждение усиливает теоремы 1 и 2.

Ещё одно усиление теорем 1,2 связано с заменой требования непрерывности f(x,y) более слабым условием.

Теорема 3. Если f(x,y) непрерывна по x (при любом фиксированном y) и f(x,y) равномерно сходится к функции g(x) при y→y₀, то

Равномерная сходимость: означает:

Доказательство. просто – оно проводится с помощью той же оценки, что и доказательство теоремы 1.

Теорема 3 справедлива также в случае y → ∞, лишь определение равномерной сходимости имеет другой вид:

Пример 2. Вычислить .

Решение. Так как функция непрерывны при любых

x,y, то возможен предельный переход под знаком интеграла:

Пример 3. Вычислить .

Р ешение. Подынтегральная функция непрерывна при любых x, y и y→∞ стремится к g(x)=x:

Эта система равномерная, так как

,

если только . Значит, возможен переход к пределу под

знаком интеграла:

.