2. Непрерывность функции.

Определение^

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке , если выполняются следующие три условия:

1. Функция ;

2. Существует

3. .

2. Определение наибольшего и наименьшего значений функции, алгоритм его нахождения.

2.1 Определение термина наибольшего и наименьшего значения функции

Наибольшим значением функции у=f(x) на промежутке X называют такое значение = f( ), что для любого x , x≠ справедливо неравенство f(x)≤ f( ).

Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение = f( ), , что для любого x , x≠   справедливо неравенство f(x)≥ f( ). 

Эти определения понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на данном интервале при абсциссе .

2.2 Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(X) на непрерывном отрезке .

1) Найти производную (x).

2) Найти стационарные и критические точки функции, лежащие на отрезке

3) Вычислить значения функции y= f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках a и b: выбрать среди этих значений наименьшее и наибольшее.

3. Производная функции

Определение производной функции:

Производной функции f в точке называется число, к которому стремится разностное отношение

, при , стремящемся к нулю.

4. Экстремум функции

 Пусть   - область определения функции  и точка  .

   Определение 1. Число М называется локальным максимумом функции  , если существует такая окрестность точки  , что для всех   из нее выполняется неравенство   . При этом М= , а сама точка   называется точкой локального максимума.

   Определение 2. Число m называется локальным минимумом функции  , если существует такая окрестность точки  , что для всех  из нее выполняется неравенство . При этом m= , а сама точка   называется точкой локального минимума.

   Определение 3. Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами. Соответствующая точка   называется точкой локального экстремума.

   Теорема Ферма. Если функция   имеет производную в точке   и достигает в этой точке локального экстремума, то  

   Определение 4. Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками.

   Замечание. Функция может иметь экстремум и в точке, где эта функция не имеет производной. Например,   - точка минимума функции  , а   не существует.

   Определение 5. Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или не является дифференцируемой, называют критическими точками.

Для того, чтобы точка  была точкой экстремума функции  , необходимо, чтобы   являлась критической точкой данной функции.

   Теорема 1. (достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума) Пусть функция   дифференцируема на множестве  ,   - стационарная точка функции   и  . Тогда:

1) если при переходе через точку   производная функции   меняет знак с “плюса” на “минус”, т. е.   слева от точки   и  справа от точки  , то   - точка локального максимума функции ;

2)  если при переходе через точку   производная функции   меняет знак с “минуса” на “плюс”, то   - точка локального минимума функции .

   Теорема 2. (достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума)  Пусть функция   дифференцируема на множестве  ,  - стационарная точка функции   и эта функция имеет вторую непрерывную производную в окрестности  точки . Тогда:

1) если , то   - точка локального максимума функции ;

2) если  , то   - точка локального минимума функции  .

   Схема для решения задач на определение экстремума функций.

   1. Установить область определения функции .

   2. Найти её первую производную.

   3. Найти стационарные точки функции  , т.е. решить уравнение  , и точки, в которых   не определена.

    4. Определить знак производной на числовых интервалах, на которые стационарные и критические точки разбили область определения.