ПОРЯДОК планирования 3

1. Определить реалистичное содержание целевой функции

(Целевая функция, функцию отклика, зависимая переменная, реакция системы на воздействие факторов, содержание целевой функции)

Y_i - ________________________

Проходка за рейс

2. Определить реалистичное содержание (сущность) факторов

(Независимые переменные, от которых зависит целевая функция)

Содержание факторов

X₁ - _{______________________________________}

X₂ - _{______________________________________}

Скорость вращения долота,

Плотность раствора

Осевое усилие

3. Определить уровни варьирования значений факторов

Минимальное значение фактора

Х_i min = ____________

Максимальное значение фактора

X_i max = ____________

4. Определить среднее значение фактора

Среднее значение фактора определяется по формуле

.

X_1 0= __________

X_2 0 = __________

5. Определить интервал варьирования фактора

Интервал варьирования определяется по формуле:

dx_i = X_i 0 – X_{i min} = X_{i max} - X_{i 0}. = ___________

6. Проверить корректность определения значений факторов

Для этого необходимо составить таблицу натуральных значений факторов

7. Определить нормированные значения факторов

Нормированные значения определяются формулой

.

8. Составить матрицу планирования эксперимента (полный факторный)

Полный двухфакторного эксперимента

первый столбец вводится искусственным путем и постоянен и равен 1.

9. Определение необходимого числа параллельных опытов

Рекомендуется проводить по каждому опыту равномерное количество дублирующих опытов.

В общем случае их должно быть не менее 3…5.

Провести по 5 параллельных опытов на каждую комбинацию факторов

10. Провести факторный эксперимент

Определить численные значения функции отклика в зависимости от комбинации значений факторов и составить матрицу с результатами экспериментов

11. Вычислить среднее значение функции отклика

(1)

при m - число повторных опытов

Среднее значение выходной величины Y_i в каждой точке определим по формуле (1) при (m = 3)

Y₁ = (43+35+48)/3 = 42

Y₂ = (90+86+94)/3 = 90,

Y₃ = (10+16+16)/3 = 14,

Y₄ = (56+54+58)/3 = 56

12. Вычислить дисперсию среднего арифметического для каждой строки матрицы эксперимента

m – количество параллельных опытов в строке матриц

Определим по формуле (2) построчную дисперсию

S²{y₁}= [(43–42)² +(35–42)² + (48–42)²]/2 = 43,

S²{y₂}= [(90–90)² +(86–90)² + (94–90)²]/2 = 16,

S²{y₃}= [(10–14)² +(16–14)² + (16–14)²]/2 = 12,

S²{y₄}= [(56–56)² +(54–56)² + (58–56)²]/2 = 4.

13. Составить таблицу расчета дисперсий

Проверить однородность дисперсии с помощью критерия Кохрена

Критерий (коэффициент) Кохрена показывает, какую долю в общей сумме построчных дисперсий занимает максимальная из них.

Определить критерий Кохрена по формуле

где s_max – наибольшая величина дисперсии;

s_i – дисперсия i-го опыта

N – общее число опытов в матрице.

В случае идеальной однородности построчных дисперсий коэффициент Gp стремился бы к значению 1/N , где N – число опытов (количество строк в матрице планирования)

выбрать среди всей совокупности рассчитанных построчных дисперсий число с максимальной дисперсией

S²{y_i}мах

вычислить сумму всех построчных дисперсий

ΣS²{y_i}

вычислить отношение максимальной дисперсии к сумме всех построчных дисперсий:

По данным из нашего примера определим расчетное значение коэффициента

Gp = 43/(43+16+12+4) = 0,57.

Задать уровень значимости

Для инженерных задач достаточен уровень значимости

 = 0,05

Определить степени свободы

степени свободы числителя (f₁)

f₁= m –1

m – количество параллельных опытов в строке матриц

степень свободы знаменателя (f₂)

f₂ = N.

N – общее число опытов в матрице

Cравнить расчетное значение коэффициента Кохрена с табличным значением

Найти значение f₁ в горизонтальном заголовке таблицы (выбирается столбец),

Найти значение f₂ выбирается слева в вертикальном заголовке таблицы (выбирается строка)

Установить табличное величину критерия Gт на пересечении выбранных столбца и строки

В соответствии с таблицей коэффициентов

для  = 0,05;

f₁ = 3 – 1 = 2;

f₂ = 4,

Gт = 0,77

Если выполняется условие:

Gp < Gт,

то с достоверностью 1 –  все построчные дисперсии признаются однородными.

В противном случае гипотезу отвергают.

Gт = 0,77;

Gт > Gp , т.е. условие выполняется

14. Выбрать вид уравнения регрессии (модели отклика)

Рекомендуется линейная модель

Y = b₀ X₀ + b₁ X₁ + b₂ X₂;

Y = b₀ X₀ + b₁ X₁ + b₂ X₂ +b₁₂ X₁₂;

(Х₀ =1).

15. Вычислить коэффициенты регрессии

16. Проверить статистическую значимость коэффициентов регрессии

Оценка производится по t-критерию Стьюдента.

Т.е. проверяется отклонение от нуля найденной оценки.

Для каждого коэффициента b_k вычисляется коэффициент Стьюдента:

где b_k – коэффициент уравнения регрессии

S{b_k} – оценка среднего квадратичного отклонения погрешности определения коэффициента.

Определить оценку генеральную дисперсию воспроизводимости

Оценкой дисперсии воспроизводимости S²_в, характеризующая точность одного измерения, является средняя из всех построчных дисперсий

S²_в = (43 + 16 + 12 + 4)/4 = 18,75

Определить дисперсию коэффициентов, найденных по экспериментальным данным

S²{b_k} = 18,75/(4*3)= 1,56

Выполнить оценку дисперсию коэффициентов, найденных по экспериментальным данным

Оценка

Для рассматриваемого примера

S{b_k} = 1,25.

Вычислить критерий Стьюдента

Определим расчетные значения коэффициента Стьюдента

t₀ = 50,5/1,25 = 40,4;

t₁ = 22,5/1,25 = 18;

t₂ = 15,5/1,25 = 12,4;

t₁₂ = 1,5/1,25 = 1,2.

Выбрать уровень статистической значимости

 = 0,05

Определить число степеней свободы

f = N (m – 1)

f = 4 (3 – 1) = 8

Найти табличное значение коэффициента Стьюдента

При выбранном уровне статистической значимости  по таблицам распределения Стьюдента при числе степеней свободы f = N (m – 1) находят табличное значение коэффициента t_табл.

Из таблиц при уровне статистической значимости

 = 0,05 и

числе степеней свободы

f = 4 (3 – 1) = 8 ,

табличное значение коэффициента равно

t_т = 2,3.

Сравнить табличное значение с расчетным

Если выполняется неравенство t_табл > t_k, то принимается нуль- гипотеза, т.е. считается, что найденный коэффициент a_k является статистически незначительным и его следует исключить из уравнения регрессии.

Сопоставление расчетных значений t_k с табличным t_т.

Неравенство выполняется для t₁₂.

Следовательно, можно предположить, что a₁₂ статистически незначим и его можно исключить из уравнения регрессии

Составить

уравнение регрессии с учетом статистической значимости коэффициентов

Y = b₀ X_0н + b₁ X_1н + b₂ X_2н

Уравнение регрессии, содержащее статистически значимые коэффициенты, будет (в кодированной системе)

Y' = 50,5 + 22,5x₁ – 15,5x₂.

Проверить адекватность модели (пригодность для практического применения)

Полученное уравнение регрессии необходимо проверить на адекватность исследуемому объекту.

Проверка адекватности выполняется по критерию Фишера

Для этой цели необходимо оценить, насколько отличаются средние значения y_i выходной величины, полученной в точках факторного пространства, и значения y_i, полученного из уравнения регрессии в тех же точках факторного пространства.

Адекватность модели проверяют по критерию Фишера

F- критерию

Fp= S²_ад/S²_в

Определить значения функции отклика по уравнению регрессии

Для рассматриваемого примера получаем:

Y'₁ =50,5 +22,5 (–1) – 15,5 (–1 ) = 43,5;

Y'₂ =50,5 +22,5 (+1) – 15,5 (–1 ) = 88,5;

Y'₃ =50,5 +22,5 (–1) – 15,5 (+1 ) = 12,5;

Y'₄ =50,5 +22,5 (+1) – 15,5 (+1 ) = 57,5

Определить оценку дисперсию адекватности

,

где L – число значимых коэффициентов.

Рассчитаем оценку дисперсии адекватности:

S²_ад = 3[(42 – 43,5)² + (90 – 88,5)² + (14 – 12,5)² + (56 – 57,5)²]/(4 – 3) = 27

Определить оценку генеральную дисперсию воспроизводимости

Оценкой дисперсии воспроизводимости S²_в, характеризующая точность одного измерения, является средняя из всех построчных дисперсий

S²_в = (43 + 16 + 12 + 4)/4 = 18,75

Задать уровень значимости

 = 0,05

Вычислить критерий Фишера

Fp= S²_ад/S²_в

Fp = S²_ад/S²_в = 27/18,75 = 1,44.

Определить число степеней свободы

f_ад = N – l

f_в = N(m - 1)

f_ад = (4 – 3) = 1 и f_в= 4 (3 – 1)=8

Найти табличные значения F- критерию

Найденное расчетным путем Fp сравнивают с табличным значением Fт ,которое определяется при уровне значимости  и числе степеней свободы

f_ад = N – l - по горизонтали (f₂)

f_в = N(m - 1) – по вертикали (f₁)

Табличное значение коэффициента Фишера при уровне статистической значимости

 =0,05

и числе степеней свободы

f_ад = (4 – 3) = 1 и f_в= 4 (3 – 1)=8

будет Fт=5,32

Сравнить расчетное значение критерия с табличным и сделать вывод об адекватности модели

Если Fp < Fт, то полученная математическая модель с принятым уровнем статистической значимости  адекватна экспериментальным данным

Следовательно, при выбранном уровне статистической значимости полученная в результате эксперимента регрессионная модель вида

y' = 50,5 + 22,5x₁ – 15,5x₂

адекватна исследуемому объекту

17. Преобразовать уравнение регрессии в нормированных значениях факторов в уравнение с натуральными значениями факторов

Подставить в уравнение регрессии значения факторов в натуральных значениях по формуле

Y = b₀ + b₁ + b₂ +b₁₂

18. Оформить отчет по результатам работы

СОДЕРЖАНИЕ И ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

1. Титульный лист, содержащий информацию о студенте (группа, фамилия, номер варианта);

2. Результаты подготовки (выбранные по варианту значения экспериментальных данных);

3. Основные теоретические положения (используемые формулы);

4. Результаты подготовки (матрица планирования в виде таблицы);

5. Листинг программы (язык программирования не имеет значения);

6. Ответы на контрольные вопросы;

7. Результат выполнения работы;

8. Выводы по лабораторной работе.