2.5. Індуктивні міркування та висновки за аналогією

Індуктивні міркування від часткового до загального відображають природний шлях пізнання навколишнього світу: загальні міркування виникають за намагання узагальнити отриману в умовах досліду сукупність одиничних та часткових фактів. Загальне твердження буде хибним за наявності хоча б одного факту, що спростовує. Вважається, що доведене за індукцією твердження буде надалі використовуватися для отримання нових дедуктивних наслідків. Повною інструкцією називають міркування, в яких загальний висновок формулюється на підставі належності даної властивості чи ознаки всім предметам даного класу. Повна індукція дає істинне знання за умови, що межі класу розглядуваних об’єктів є заданими. Багаточисленні приклади застосування повної індукції відомі з математики, зокрема, зі спостереження суми непарних чисел.

Можна зробити висновок, що Суму S_n+1 можна отримати додаванням до неї чергового непарного числа, тобто , тобто . Структура формули збереглася, тобто її можна вважати доведеною. Подібним чином доводяться формули для суми членів арифметичної і геометричної прогресії.

Неповна індукція – це перенесення знань, що відомі про частину об’єктів певного класу. При цьому можуть виникати помилкові індуктивні висновки внаслідок застосування другорядних ознак як істотних та надшвидкого узагальнення. Правдоподібні індуктивні міркування здійснюються з врахуванням не лише повторюваності ознак у об’єктів певного класу, але також їх взаємозв’язку та причинної залежності між даними ознаками та ознаками об’єктів. Вони формулюються у вигляді принципів єдиної відмінності, єдиної схожості, єдиного залишку та аналогії.

Єдина різниця. Якщо за незмінних інших умовах після введення якогось фактору з’являється (чи після його вилучення зникає) певний ефект, то згаданий фактор і становить причину ефекту.

Єдина схожість. Якщо всі обставини, окрім однієї, можуть бути відсутніми, не знищуючи цим ефекту, то саме ця обставина є причиною ефекту.

Єдиний залишок. Якщо відняти з якого-небудь явища ту його частину, яка, згідно з попередніми дослідженнями, виявляється наслідком наявних у явищі відомих причин, то залишок цього явища є наслідком усіх інших причин.

Застосовують також нечіткі висновки: коли істинність посилань є встановленою з певним ступенем впевненості, то й висновок виводиться з певним ступенем достовірності (імовірності). Математичне обґрунтування нечітких висновків будується на теорії нечітких множин Л.Заде.

Розумовим висновком за аналогією називають міркування, в якому із схожості двох об’єктів за одними ознаками робиться висновок про їх схожість за іншими. Приклад аналогії:

з усіх плоских фігур з однаковою площею найменший периметр має круг

з усіх тіл однакового об’єму найменшу поверхню має куля

Аналогія лежить в основі моделювання – методу вивчення об’єктів та процесів за їх моделями. Нестрога аналогія приводить лише до імовірнісних висновків. Відомі такі способи збільшення імовірності правильного висновку:

а) використання причинних зв’язків;

б) збільшення чисельності ознак;

в) врахування міри схожості ознак;

г) збільшення різнорідності ознак;

д) зважування схожості та відмінності з врахуванням важливості ознак.