4. Критерії узгодження. Критерій χ² Пірсона

Застосування цілого ряду критеріїв є оптимальним у випадках вибірок, отриманих з нормально розподіленої генеральної сукупності. При відхиленнях від нормального розподілу точність цих критеріїв істотно знижується, тому, щоб впевнено їх застосовувати, необхідно перевірити припущення про нормальний розподіл генеральної сукупності. Для цього користуються критеріями узгодження, яких існує кілька різновидів. Найбільш поширеними на практиці є критерій χ² (хі-квадрат) Пірсона, критерій λ Колмогорова – Смирнова, критерій W Шапіро – Уілки.

Нульовою гіпотезою Н₀ в цих критеріях є твердження про те, що розподіл генеральної сукупності, з якої отримана вибірка, не відрізняється від нормального. Критерій χ² Пірсона розроблений краще за інші й найбільш уживаний. Він заснований на порівнянні емпіричних частот з теоретичними, які обчислюються за відповідними формулами.

5. Критерії, засновані на нормальному розподілі

а) Порівняння двох вибіркових дисперсій з нормальних сукупностей

Якщо необхідно перевірити гіпотезу про те, що дві незалежні вибірки, одержані з генеральних сукупностей, мають однакові дисперсії σ і σ , то можна використати F - критерій Фішера. На практиці така задача виникає, коли необхідно порівняти точність приладів, інструментів, а також самих методів вимірювання. Зрозуміло, що саме той прилад, інструмент, метод буде мати перевагу, який забезпечує найменше розсіювання результатів вимірювань, тобто найменшу дисперсію.

Умови застосування F - критерію: обидві вибірки незалежні і одержані з нормально розподілених генеральних сукупностей з параметрами , , , .

Алгоритм застосування F - критерію:

1. Приймається припущення про нормальність розподілу генеральних сукупностей.

2. Формулюється нуль-гіпотеза Н₀: = і альтернативна Н₁: ≠ ; задається рівень значущості α.

3. Отримують дві незалежні вибірки із сукупностей Х і У об’ємів n₁ і n₂ відповідно.

4. О бчислюються значення вибіркових дисперсій і .

5. Обчислюють значення F - критерію за формулою: де: - більша дисперсія,

- менша дисперсія.

Зауваження: значення критерію F≥1.

6. В спеціальній таблиці стандартних значень критерію F– Фішера за заданим рівнем значущості α і числами ступенів свободи k₁= n₁-1 і k₂= n₂-1 знаходять критичне значення F_α (індекс 1 відповідає тій вибірці, яка має більшу дисперсію).

7. Робиться висновок: якщо обчислене значення F- критерію більше або дорівнює критичному (F≥F_α), то дисперсії різняться достовірно на заданому рівні значущості α. Якщо ж F<F_α, то приймається нульова гіпотеза про рівність двох дисперсій.

б) Порівняння двох вибіркових середніх для незалежних вибірок

Існує й широко застосовується також критерій порівняння двох вибіркових середніх для малих незалежних вибірок. Різниця середніх арифметичних недостовірна, якщо вона неістотна і пояснюється випадковими причинами. Достовірною вона буває тоді, коли відмінність середніх істотна і пояснюється впливом конкретних факторів.

Потреба порівняти деякі групи чисел може виникати в різних ситуаціях. Наприклад, коли треба перевірити ефективність нових методик (програм), комплексу заходів, що впроваджуються з метою покращення тих чи інших фізичних якостей досліджуваних, функціонального стану різних систем організму, фізичного здоров’я; або потрібно порівняти антропометричні виміри груп осіб, які займаються і не займаються спортом; або показники загальної фізичної підготовки за кілька років у молодих спортсменів, що змінюються з віком тощо. В усіх таких випадках наявність істотної відмінності між параметрами сукупностей буде вказувати на принципову відмінність у групах досліджуваної ознаки.

Розглянемо задачу порівняння середніх арифметичних величин двох нормальних генеральних сукупностей, дисперсії яких невідомі й однакові.

Умови застосування критерію: вибірки з генеральних нормальних сукупностей повинні бути репрезентативними і однорідними, генеральні дисперсії рівні.

Алгоритм застосування критерію:

1. Утворити дві вибірки об’ємів n₁ і n₂ з нормально розподілених генеральних сукупностей.

Сформулювати початкову гіпотезу Н₀ : = і альтернативну Н₁ : ≠ .

2. Обчислити вибіркові характеристики , , , .

3. Застосувати F-критерій Фішера для перевірки гіпотези про рівність дисперсій.

4. Я кщо дисперсії рівні, то розрахувати стандартну помилку різниці середніх арифметичних m за такими формулами:

а) якщо n₁=n₂, то m = (1)

б ) якщо n₁ ≠ n ₂, то

5. Обчислити t – критерій Стьюдента за формулою: (3)

6. Для обраного рівня значущості  і числа ступенів свободи k = n₁-n₂-2 в таблиці критичних значень критерію Стьюдента знайти t_α.

7. Якщо , то нульову гіпотезу відхиляємо і приймаємо альтернативну. Тобто відмінність середніх результатів можна вважати значущою (достовірною), зумовленою нововведеннями. Інакше приймаємо нульову гіпотезу і вважаємо відмінність випадковою.

Приклад 1.

У спортсменів 16-річного віку виміряли станову силу (Н): в групі баскетболістів – х_і , футболістів – у_і. Оцінити, чи принципово відрізняються ці групи за показниками станової сили.

хі	ni	хі ni	хі-	(хі- )2	(хі- )2 ni
9,8	1	9,8	-0,3	0,09	0,09
9,9	2	19,8	-0,2	0,04	0,08
10,1	3	30,3	0,0	0,00	0,00
10,2	2	20,4	0,1	0,01	0,02
10,5	2	21,0	0,4	0,16	0,32
	10	101,3			0,51

уі	ni	уі ni	уі -	(у і- )2	(у і- )2 ni
9,7	1	9,7	-0,6	0,36	0,36
10,2	2	20,4	-0,1	0,01	0,02
10,3	3	30,3	0,0	0,00	0,00
10,4	3	31,2	0,1	0,01	0,03
10,5	3	31,5	0,2	0,04	0,12
	12	123,1			0,53

Обчислимо критерій Фішера:

Для k₁=10-1=9; k₂=12-1=11 і рівня значущості табличне значення критерію F=2,9. Оскільки F<F_α (1,15<2,9), то дисперсії вважаються рівними.

Порівняємо середні арифметичні двох генеральних сукупностей. Оскільки n₁ ≠ n ₂, то обчислимо стандартну помилку різниці середніх за формулою (2):

m =

Обчислимо t-критерій Стьюдента за формулою (3):

Для =0,05 та числа ступенів свободи k = n₁ n₂ 2=20 в таблиці граничних значень критерію Стьюдента знаходимо t_α=2,09. t < t_α – тож, різницю середніх вважатимемо недостовірною, тобто показники станової сили футболістів та баскетболістів генеральних сукупностей, з яких узято вибірки, принципово не відрізняються.