20. Охарактеризуйте закон Дарси и условия его применения (покажите на примерах)

Коэффициент фильтрации, имеет размерность скорости и характеризует скорость потока через единицу площади сечения, перпендикулярного потоку, под действием единичного градиента напора.

При исследовании фильтрации газа, нефти и их смесей необходимо разделить влияние свойств пористой среды и флюида. Поэтому для разделения свойств флюида и пористой среды равенство (6) представляют в виде:

 (8)

или   (9)

где μ – динамический коэффициент вязкости,

- приведенное давление,

k – коэффициент проницаемости, который не зависит от свойств жидкости и является динамической характеристикой только пористой среды, м². Проницаемость крупнозернистых песчаников 10^-12 – 10^-13 м² (1 – 0,1 мкм²), проницаемость плотных песчаников 10^-14 м² (0,01 мкм²). Из-за малости этих величин в нефтепромысловой практике получила размерность 1 Д (Дарси) = 1,02·10^-12 м².

Коэффициент фильтрации и проницаемости определяются экспериментально (рис. 1.4) и могут быть связаны между собой соотношением:

 (10)

Равенства (8, 9) справедливы, если фильтрационные свойства недеформируемой пористой среды изотропные и однородные, т.е. проницаемость не зависит от направления и постоянна для всех точек.

Из формул (6, 8) имеем  или  ,

где перепад напора, приходящийся на единицу длины (модуль градиента давления) можно представить в следующем виде

.

Пермеаметр содержит образец исследуемого грунта, общий расход Q фильтрационного потока поддерживается постоянным, напоры Н₁ и Н₂ измеряют двумя пьезометрами, соединенными с пористой средой в сечениях 1 и 2.

Обычно соотношения (6) или (9) называют следствием закона Дарси.

Этот закон является хронологически первым законом теории фильтрации. Закон Дарси можно записать в виде

,

где  - коэффициент фильтрации, имеющий размерность скорости;

- гидравлический уклон (или градиент давления).

 

Закон Дарси связывает меду собой вектор скорости и градиент фильтрационного давления.

Если обе части равенства (9) разделить на площадь сечения, то получим

, (11)

выражение  имеет размерности скорости, и определяет модуль вектора скорости фильтрации. При определении расхода считается, что вектор скорости фильтрации направлен перпендикулярно плоскости (галерее), через которую фильтруется флюид. Скорость фильтрации – это фиктивная скорость, т.к. она определяется в любой точке сечения пористой среды – и в порах, и в твердом скелете, а на самом деле течение проходит только по поровым каналам с некоторой истинной скоростью υ. Между фиктивной и истинной скоростью существует взаимосвязь:

или   (12)

Таким образом, скорость фильтрации равна истинной средней скорости, умноженной на просветность. Заменять просветность на пористость теоретически неправомерно.

Равенство (11) можно представить в векторной форме. В случае изотропных фильтрационных свойств векторы скорости фильтрации и градиент фильтрационного давления лежат на одной прямой. Поэтому, если умножить равенство (11) на орт  , задающий направление фильтрации, получим

 (13)

В равенстве (13) множитель  представляет собой модуль приведенного давления при линейном законе распределения давления. Тогда можно записать

 (14)

Векторное уравнение (14) представляет собой закон Дарси для изотропной пористой среды.

Знак «минус» в правой части равенства появляется из-за того, что скорость фильтрации направлена в сторону уменьшения приведенного давления. Поэтому векторы скорости фильтрации и градиента фильтрационного давления направлены в разные стороны (градиент давления направлен в сторону роста давления, а скорость фильтрации в обратную сторону – от большего давления к меньшему).

Равенство (14) задает закон Дарси в универсальной безындексной форме записи, справедливой для любой системы координат. В декартовой системе координат равенство записывается в виде

, (15)

где  - орты декартовой системы координат (ось z направлена вертикально вверх).

Это равенство можно спроектировать на оси координат

,  ,  . (16)

Таким образом, закон Дарси заключается в том, что скорость фильтрации пропорциональна градиенту давления.

Закон Дарси имеет силу, если соблюдаются следующие условия:

1) мелкозернистая пористая среда или достаточно узкие поровые каналы;

2) малая скорость фильтрации при небольшом градиенте давления;

3) незначительные изменения скорости фильтрации или градиента давления.

Закон Дарси справедливдля медленных фильтрационных движений, для которых силы инерции несущественны. Поэтому для таких движений несущественна плотность жидкости, определяющая свойство ее инерции.

Закон Дарси, в дифференциальной форме он имеет вид:

, (17)

где  - градиент давления (сил трения), ω – скорость фильтрации, m - коэффициент динамической вязкости, k – коэффициент проницаемости.

Знак (-) в левой части формулы (17) означает, что течение газа происходит в направлении, противоположном росту давления.

Фундаментальный закон фильтрации (17) устанавливает связь между скоростью фильтрации и градиентом давления.