
Сочетания.
1) Сочетания без повторений.
В некоторых задачах по комбинаторике не имеет значения порядок расположения объектов в той или иной совокупности. Важно лишь то, какие именно элементы ее составляют. В таких ситуациях мы имеем дело с сочетаниями.
Определение
3: Сочетания
из
элементов по
элементов
(
)
– это расстановки, отличающиеся друг
от друга составом,
но не порядком
элементов. Обозначают:
.
В данном случае в расстановках важен состав, а не порядок элементов в подмножестве. Если две расстановки отличаются только порядком следования элементов, то с точки зрения сочетаний они не различимы. Элементы в этих расстановках не повторяются.
Теорема 4: Число сочетаний находится по следующей формуле:
.
Доказательство:
Если из
произвольного
-элементного
множества выбраны
элементов, то их можно пронумеровать
номерами
числом способов, равным
.
Оставшиеся
элементов можно занумеровать номерами
,
,
…,
всего
способами. Кроме того, сам отбор
элементов из
элементов можно осуществить
способами. Таким образом, мы получили
вариантов нумерации полного множества
из
элементов, которых всего
.
Поэтому имеем
,
откуда имеем:
.
Теорема доказана.
Отсюда видно, что число размещений в раз больше числа соответствующих сочетаний . Другими словами, чтобы посчитать все сочетания , нужно исключить из всех размещений подмножества, отличающиеся порядком (их будет штук), т.е. делят на .
Следствие:
Выведенная формула совпадает с формулой
для числа повторений из
элементов одного типа и
элементов второго типа:
.
Иными словами
справедливо равенство:
.
Примеры: Выбор делегации, число призеров в соревновании и т. д.
Замечание:
,
.
Существенное отличие числа сочетаний от числа соответствующих размещений состоит в том, что для размещений важен состав и порядок элементов в подмножествах, а для сочетаний важен только состав.
2) Сочетания с повторениями.
Пусть имеется предметы различных типов. Сколько комбинаций можно сделать из них, если не принимать во внимание порядок элементов? Эту задачу в общем виде можно решать точно так же, как задачу с пирожными.
Задача: В кондитерском магазине продаются пирожные 4 сортов: наполеон, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?
Зашифруем каждую покупку с помощью нулей и единиц. Напишем столько единиц, сколько куплено наполеонов, затем пишем 0, чтобы отделить пирожные одного типа от другого и т.д. Тогда каждой покупке будет соответствовать последовательность из семи единиц и трех нулей в различном порядке. Число всех таких покупок тогда будет равно:
.
Для числа сочетаний с повторениями существует формула:
.
Доказательство.
Пронумеруем элементы исходного множества
числами от 1 до
.
Пусть в одно из сочетаний с повторениями
вошло
элементов под номером 1,
элементов под номером 2, …,
элементов под номером
.
Поскольку составляются группы из
объектов, то
.
Изобразим это сочетание с повторениями в виде последовательности из нулей и единиц. Единица будет обозначать каждый отдельный объект сочетания, нуль – разделитель между группами.
Поскольку сумма
всех
равна
,
то в построенной последовательности
содержится
единиц, а так как имеется
различных по составу групп, то разделителей
(нулей) будет
.
Верно обратное: каждой такой
последовательности соответствует
сочетание с определенными повторениями.
Таким образом,
задача свелась к поиску ответа на вопрос:
сколько различных последовательностей
длины
можно составить из
единиц и
нулей? Это есть число перестановок с
повторениями из
единиц и
нулей:
.
А так как
,
то формула доказана.