Раздел 4 Комбинаторика.

Комбинаторика – это раздел математики, в котором рассматриваются вопросы о том, сколько различных комбинаций можно составить из заданных объектов, подчиненных некоторым условиям.

Задача считается комбинаторной, если она формулируется следующим образом: дано некоторое конечное множество, состоящее из элементов, из этого множества нужно выбрать подмножество из элементов, , спрашивается, сколькими способами это можно сделать? Комбинаторика работает только с конечными множествами.

Комбинаторика возникла в XVI веке. Первые задачи комбинаторики касались азартных игр – сколькими способами можно получить данное число очков, бросая две или три кости, или сколькими способами можно вытянуть двух королей из карточной колоды и т.д. Подобные вопросы и явились движущей силой развития комбинаторики и теории вероятностей. Яркий свет в комбинаторике оставили Паскаль, Я. Бернулли, Лейбниц, Эйлер и другие математики. В ХХ веке, в связи с созданием ЭВМ и повышением интереса к дискретной математике комбинаторика переживает бурный рост. Комбинаторные задачи возникают в анализе и алгебре, геометрии и топологии, в различных разделах математики и в приложениях.

Из сказанного становится понятным, что комбинаторика имеет дело лишь с натуральными числами. Поэтому, может показаться, что она более «элементарна», чем другие разделы математики. Такое впечатление обманчиво.

В последнее время роль комбинаторики возросла в связи с бурным развитием вычислительной техники и потребностями теории информации, изучающей методы оптимального кодирования, декодирования и передачи информации.

§1. Правила комбинаторики. Основные комбинаторные формулы.

Начнем с основных принципов комбинаторики, т.е. с правил.

Существует два общих правила комбинаторики: правило сложения и правило умножения.

Правило умножения:

Пусть составляются всевозможные строки длины . Пусть первая компонента строки может быть выбрана числом способов, равным . После того, как первая компонента выбрана и независимо от того, как она выбрана, вторая компонента выбирается числом способов, равным . Далее аналогично. Последняя компонента выбирается числом способов, равным . Тогда количество всех построенных строк равно произведению: .

Правило сложения:

Если некоторый элемент можно выбрать различными способами, а другой элемент выбирается способами, то объект « » можно выбрать способами.

Доказательство. Пересчитаем элементы объединения непересекающихся множеств и , т.е. . Элементы множества получат номера от 1 до . Множества и не содержат одинаковых элементов, поэтому элементы множества получат номера от до . При помощи этой процедуры подсчета элементов множества все они будут исчерпаны, следовательно, множество содержит элементов.

Замечание: Правило сложения, как и правило умножения, можно обобщить на случай слагаемых.

Можно также отметить, что знак умножения в соответствующем правиле соответствует союзу «и» русского языка. А знак сложения – союзу «или». Причём, союз «или» применяется во взаимоисключающем смысле.

Для дальнейшего изложения необходимо ввести следующее вспомогательное понятие.

Определение 1: Пусть дано конечное множество из элементов. Всякий набор из элементов данного множества (при этом элементы в наборе могут и повторяться) будем называть - расстановками.

Через понятие расстановки вводятся основные определения комбинаторики: сочетания, размещения и перестановки. При этом каждое из этих понятий может быть с повторениями и без повторений.