3. Однородные координаты

Декартовы координаты позволяют с помощью матриц 3х3 описывать преобразования, связанные с вращением и масштабированием, однако, они не позволяют одновременно описывать и смещение. Таким образом, декартовы координаты не позволяют использовать матричную запись для задания перспективного преобразования точек.

Для записи перспективного преобразования координат в матричном виде введем понятие однородных координат.

Однородные координаты – это математический механизм, связанный с определением положения точек в пространстве.

Однородными координатами точки P=(x₁,x₂,…..x_n), называются координатыP_hom=(wx₁,wx₂,…..wx_n,w), , причем хотя бы один элемент должен быть отличен от нуля.

Однородные координаты точки (x,y) равны (wx,wy,w) для любого ненулевогоw. С другой стороны точке с однородными координатами (x,y,w) однозначно соответствует точка (x/w,y/w) (Вообще двумерное представление точки (x,y,w) есть ее проекция на плоскостьw=1). Таким образом, преобразование из однородных координат в евклидовы однозначно, преобразование из евклидовых координат в однородные – нет.

Однородные координаты позволяют:

• описать бесконечно удаленную точку;

• использовать унифицированный механизм работы с матрицами для выражения преобразований точек.

4. Внутренние и внешние параметры калибровки. Уравнение перспективной проекции

Введем следующие обозначения:

M=[X, Y, Z]^T– вектор координат трехмерной точки М в системе координат камеры;

m=[u,v]^T– вектор координат проекции точкиMв системе координат плоскости изображения;

M=[X, Y, Z, 1]^T– вектор однородных координат точки М в системе координат камеры;

m=[u,v, 1]^T– вектор однородных координат проекции точкиMв системе координат плоскость изображения;

Тогда– матрица внутренних параметров камеры

К внутренним параметрам камеры относятся следующие параметры:

• α=f/k,β=f/l, где f – фокусное расстояние, а k, l – размеры пикселя (так как параметры f, k, l не являются независимыми, то вместо них используют два параметра: α и β, которые задают фокусное расстояние в пикселях по осям U и V соответственно);

• координаты главной точки в системе координат изображения (u₀, v₀);

• угол между двумя координатными осями изображения θ (θ₁=);

В данном случае предполагается, что камера оснащена идеальными линзами, и нет никаких искажений.

Используя введенные обозначения, можно записать в компактной векторно-матричной записи:

До сих пор мы рассматривали случай, когда трехмерные координаты точки заданы в системе координат, которая совпадает с системой координат камеры. В общем случае трехмерные координаты точки могут быть заданы в системе координат, не совпадающей со стандартной системой координат камеры. Назовем эту систему координат мировой или глобальной.

Пусть OXYZ– мировая система координат. Тогда переход от системыOXYZк системеO_СX_СY_СZ_С можно осуществить поворотом координатных осей и последующим переносом начала координат. Тогда связь между координатами точкиMв мировой системе и системе координат камеры может быть представлена как:

, где:

M– вектор пространственных координат точкиMв мировой системе координат;

M_c– вектор пространственных координат точкиMв системе координат камеры;

R– матрица вращения (3х3);

t– вектор переноса.

В матричном виде координаты точки Mв системе координат камеры можно записать как, гдеM­_c==[X,Y,Z, 1]^T- вектор однородных координат точкиMв мировой системе координат.

Три угла определяющие поворот и три координаты вектора tназываются внешними параметрами калибровки.

Внешние параметры связывают между собой мировую систему координат и систему координат камеры, то есть позволяют определять координаты точки в системе координат камеры, если известны ее координаты в мировой системе координат.

Правило перехода от мировой системы координат к системе координат изображения (для модели перспективной проекции) можно записать как:

или

При этом, если через обозначить три строки матрицыH, то из уравнения (2.4.4) следует, чтоz=h₃M(запись через скалярное произведение двух векторов,z– представляет собой координату точки М по осиZ_Cв системе координат камеры, так как:):

Это уравнение является самым общим видом уравнения перспективной проекции.

Проекционная матрица Hвключает в себя 11 параметров: 5 внутренних параметров и 6 внешних. Под полной калибровкой камеры подразумевается нахождение оценок как внутренних, так и внешних параметров.