§2. Последовательности комплексных чисел ряды с комплексными членами
Под
-окрестностью
точки
будем понимать внутренность круга
радиуса
с центром в точке
,
то есть множество точек
,
для которых
.
Определение.
Число
называется пределом
последовательности
комплексных чисел
,
если
можно указать такой номер
,
,
начиная с которого выполняется неравенство
.
Иначе:
если
,
то как бы мала ни была
-окрестность
точки
,
все точки последовательности
,
начиная с
,
попадут внутрь этой окрестности.
Существование предела
равносильно существованию двух пределов:
,
, где
.
Пример
1. Найти 1)
;
2)
.
Решение.
1) Имеем
,
значит
.
Из существования пределов
и
следует, что предел последовательности
существует и равен
.
2)
Представим число
в тригонометрической форме:
.
Затем применим формулу Муавра
.
Значит
.
Из существования пределов
и
(произведение ограниченной последовательности
на бесконечно малую последовательность)
следует, что предел последовательности
существует и равен
.
☻
Определение.
Последовательность
комплексных чисел
называется ограниченной,
если существует такое число
,
что для всех элементов
последовательности имеет место
неравенство
(и неограниченной в противном случае).
Принято
считать, что всякая неограниченно
возрастающая последовательность
комплексных чисел сходится к комплексному
числу
.
Комплексная плоскость вместе с бесконечно
удаленной точкой, изображающей число
,
называется полной
комплексной плоскостью. Точки
неограниченно возрастающей
последовательности комплексных чисел
стремятся к точке
независимо от направ-
ления
на полной комплексной плоскости.
Выражение
означает
,
при этом аргумент бесконечно удаленной
точки не имеет определенного значения
(так же, как и аргумент точки
).
Окрестность бесконечно удаленной точки
– это внешность круга с центром в точке
,
т.е.
.
Для бесконечно удаленной точки
устанавливаются следующие соотношения:
;
;
;
.
Рассмотрим ряд с комплексными членами
(1)
Его
частичные суммы
.
Ряд (1) называется сходящимся, если
существует предел последовательности
частичных сумм при
.
Этот предел
называется суммой ряда.
Так
как
,
то сходимость ряда (1) равносильна
сходимости двух рядов с действительными
членами
и
.
Ряд
(1) сходится тогда и только тогда, когда
можно указать такой номер
,
что
при всех
и любом натуральном
(критерий Коши).
Пример
2. Показать, что
необходимым
условием сходимости
ряда (1) является требование
.
Решение.
Пусть ряд (1) сходится. В силу критерия
Коши для
можно указать такой номер
,
что при всех
и при
:
.
Это и означает, что последовательность
бесконечно малая. ☻
Задача
1. Убедиться, что
ряд
расходится.
Если сходится ряд
,
(2)
то сходится и ряд (1), который в этом случае называется абсолютно сходящимся.
Достаточные признаки сходимости ряда (2).
Признак Даламбера. Ряд (2) сходится, если выполняется соотношение
для
всех
,
здесь
.
Признак Коши. Ряд (2) сходится, если выполняется соотношение
для
всех
,
.
Пример
3. Исследовать
на сходимость ряд
.
Решение.
По формуле Эйлера
.
Таким образом, вопрос о
сходимости
данного ряда сводится к вопросу о
сходимости рядов
и
.
Для первого ряда
.
По признаку Даламбера этот ряд сходится
абсолютно. Это верно и для второго ряда,
значит, данный ряд сходится абсолютно.
☻