§35. Тензор електропровідності

Для одержання явного виразу для тензора електропровідності скористаємось формулою Кубо (34.28).

З виразу (34.28) одержуємо [18]

. (35.1)

При одержанні формули (35.1) використано співвідношення між спектральними представленнями для кореляційної функції та двохчасових функцій Гріна (32.1)

,

яке випливає із (32.16) та означення (32.1); у нашому випадку .

Вираз (35.1) отриманий в припущенні відсутності магнітного поля.

Для розрахунку спектральних представлень запізнювальної і випереджаючої функцій Гріна , скористаємося виразом для оператора густини струму

, (35.2)

де , – польові оператори породження і знищення електрона; – оператор – проекції швидкості; e – заряд електрона; під інтегруванням за мається на увазі інтегрування за об'ємом кристала і підсумовування по проекції спіна s на вісь z; об'єм кристала вважається рівним одиниці.

Розрахунок двохчастинкових запізнювальної і випереджаючої функцій Гріна (електропровідності) (35.1) невпорядкованого кристалу базується на методі температурних функцій Гріна. При цьому використовується відоме співвідношення між спектральними представленнями запізнювальної, випереджаючої та температурної функцій Гріна. Температурна функція Гріна (32.10) в цьому випадку

, (35.3)

де двохчастинкова функція Гріна

,

(35.4)

– об’єм примітивної комірки.

Діаграми для двохчастинкової температурної функції Гріна (35.4) зображено на рис.35.1.

Рис.35.1. Діаграми для двохчастинкової температурної функції Гріна.

Діаграма у лівій частині рівності на рис.35.1 відповідає двохчастинковій температурній функції Гріна. Позначення у правій частині рівності на рис.35.1 співпадають з позначеннями на рис.32.5. Цифри на рис.35.1 відповідають номеру точки, наприклад, 1 відповідає n₁i₁₁₁. По внутрішнім точкам рис.35.1 мається на увазі підсумовування. Підсумовування по передбачає підсумовування по і інтегрування по . Можна показати, що вклад другої діаграми у правій частині рівності на рис.35.1 дорівнює нулю. Остання діаграма у правій частині рівності містить вершинну частину діаграми для масового оператора електрон-електронної взаємодії (див. рис.32.4). Діаграма для двохчастинкової температурної функції Гріна, що побудована на вершинній частині діаграми для масового оператора електрон-фононної взаємодії (рис.32.1), не дає вкладу і не приведена на рис.35.1.

Розкладаючи експоненту у виразі (32.8) для в ряд за степенями , підставляючи результат в (35.4) і використовуючи теорему Віка (32.23), для розрахунку двохчастинкової температурної функції Гріна невпорядкованого кристалу можна побудувати діаграмну техніку, аналогічну діаграмній техніці для однорідної системи [14]. Знаменник у формулі (35.4) скоротиться з таким же множником в чисельнику. При цьому функції Гріна системи виразяться у вигляді ряду тільки по зв’язних діаграмах. Виконуючи далі перетворення Фур’є і використовуючи відомі співвідношення між спектральними представленнями температурної і часової функцій Гріна (32.17), шляхом аналітичного продовження на дійсну вісь отримаємо з врахуванням (35.1) наступний вираз для дійсної частини тензора електропровідності системи [18]:

(35.5)

де

,

, , . (35.6)

Складова двохчастинкової функції Гріна у формулі (35.5), що виражається через вершинну функцію , має вигляд: [18]:

.

(35.7)

Тензор електропровідності сплаву залежить від випадкового розташування атомів різного сорту на вузлах кристалічної решітки. Для розрахунку скористаємося властивістю самоусереднення тензора електропровідності, відповідно до якого значення при нескінченному збільшенні об’єму системи прагне деякої невипадкової величини, рівної усередненому по різних розташуваннях атомів значенню . Вирази для функцій Гріна у формулі (35.5) для відрізняються від відповідних виразів для функцій Гріна одночастинкових гамільтоніанів невпорядкованої системи лише виглядом масових операторів. У зв’язку з цим, для розрахунку тензора електропровідності скористаємося добре відомими методами теорії невпорядкованих систем (див. §30). В результаті для тензора електропровідності одержимо [18]:

, (35.8)

де

.

Оператор - проекції швидкості електрона у формулі (35.8) дається виразом

.

Для спрощення формули (35.8) скористаємося наближеним виразом

, (35.9)

де одержуємо з виразу (35.7) шляхом заміни на .

Виконуючи конфігураційне усереднювання аналогічно роботам [10, 11], отримаємо для Т – матриці розсіяння в зображенні Фур’є:

(35.10)

(35.11)

Конфігураційне усереднення від добутку Т-матриць можна представити у вигляді [10, 11]:

(35.12)

(35.13)

Величини, що стоять у виразах (35.12), (35.13), є матрицями по відношенню до індексів енергетичних зон . Статичні зміщення атомів у виразах (35.10), (35.12) визначаються формулами (32.47), (32.48). У виразах (35.10), (35.12) нехтується вкладом процесів розсіяння на кластерах з трьох і більше атомів, які є малими за параметром (30.39). Зазначимо, що цей малий параметр існує не тільки в кластерному розкладі для одночастинкової, але і для двохчастинкової (електропровідності) функцій Гріна.

Таким чином, описано метод розрахунку енергетичного спектру електронів і фононів, вільної енергії та електропровідності невпорядкованого кристалу. Метод базується на кластерному розкладі для двохчасових запізнювальних і випереджаючих функцій Гріна та термодинамічного потенціалу невпорядкованої системи. Електронні стани системи описуються в рамках багатозонної моделі сильного зв’язку. Розрахунки базуються на діаграмній техніці для температурних функцій Гріна. За нульове одновузлове наближення в цьому методі кластерного розкладу обрано наближення когерентного потенціалу. Показано, що внески процесів розсіяння елементарних збуджень на кластерах зменшуються із збільшенням числа вузлів в кластері за деякими малими параметрами. Дослідження зазначених параметрів показує [10, 11, 13], що вони є малими в широкій області зміни характеристик невпорядкованого кристалу, включаючи концентрацію компонентів, за виключенням вузьких інтервалів значень енергії на краях енергетичних зон.

Запропоновано метод врахування статичних зміщень атомів на вузлах кристалічної решітки при розрахунку спектра елементарних збуджень, вільної енергії та електропровідності невпорядкованого кристалу.

Одержано вираз для оптичної провідності невпорядкованих сплавів і напівпровідників, в якому врахована електрон-фононна і електрон-електронна взаємодії, а також статичні зміщення атомів на вузлах кристалічної решітки.