§34. Формула Кубо

Для опису кінетичних властивостей системи використаємо рівняння руху для статистичного оператора  (матриці густини) [12]

(34.1)

та початкову умову

(34.2)

У виразі (34.1) H – гамільтоніан системи (31.1), – гамільтоніан взаємодії системи із зовнішнім полем.

Перейдемо від статистичного оператора  до ₁ за допомогою канонічного перетворення

. (34.3)

Тоді рівняння руху для матриці густини перетвориться до вигляду

, (34.4)

з початковою умовою

, (34.5)

де

(34.6)

– оператор взаємодії системи із зовнішнім полем в представленні Гейзенберга з гамільтоніаном H. Розв’язуючи рівняння (34.4) з початковою умовою (34.5), матимемо

, (34.7)

або

. (34.8)

Якщо збурення мале, то розв’язок рівняння (34.8) можна одержати шляхом ітерації, приймаючи в якості нульового наближення . В першому наближенні матимемо

. (34.9)

Формула (34.9) дозволяє вирахувати у лінійному наближенні по гамільтоніану взаємодії системи із зовнішнім полем середнє значення будь-якої величини, що описується оператором A:

. (34.10)

Підставляючи (34.9) у (34.10) і використовуючи інваріантність шпуру відносно циклічної перестановки операторів, одержимо

, (34.11)

де

(34.12)

– оператор в представленні Гайзенберга,

. (34.13)

Розповсюджуючи інтегрування за часом у виразі (34.11) до шляхом введення функції Хевісайда , матимемо

, (34.14)

де

(34.15)

– запізнювальна двохчасова функція Гріна (32.1). Вираз (34.14) є формулою Кубо для лінійної реакції системи.

Розглянемо реакцію системи на зовнішнє електромагнітне поле. Гамільтоніан взаємодії системи із зовнішнім полем в дипольному наближенні запишемо у вигляді

, , (34.16)

де – напруженість зовнішнього електричного поля, а

(34.17)

– вектор поляризації. Тут покладено, що об’єм системи . Під впливом збурення (34.16) у системі виникає електричний струм, який згідно (34.14) можна подати у вигляді

. (34.18)

При одержанні виразу (34.18) враховано, що у стані статистичної рівноваги середній струм дорівнює нулю, тобто .

Підставляючи (34.16) у (34.18), матимемо

, (34.19)

де

. (34.20)

Легко бачити, що величина (34.20) є тензором електропровідності системи.

Подамо вираз для тензора електропровідності (34.20) у більш зручному вигляді. Для цього скористаємося тотожністю Кубо.

Тотожність Кубо.

Покладемо

, (34.21)

де – оператор, який треба знайти. Диференціюючи (34.21) по , одержимо диференціальне рівняння

(34.22)

з початковою умовою

, (34.23)

що випливає з означення (34.21).

Інтегруючи (34.22) з врахуванням початкової умови (34.23), одержимо тотожність Кубо:

. (34.24)

Одержимо тепер другий вираз для тензора електропровідності , записавши (34.20) у вигляді

(34.25)

і скориставшись тотожністю Кубо (34.24), згідно якої

. (34.26)

Тоді одержимо

. (34.27)

При одержанні (34.27) використано вираз (34.17), згідно якого

.

Таким чином, для тензора електропровідності системи маємо

, (34.28)

де – оператор – проекції густини струму.