Лекции / ЛЕКЦИЯ8_09

Однородное дифуравнение получается из исходного, если в нём взять правую

часть равной нулю. Решением однородного дифуравнения в общем виде является показательная функция Аеpt.

Постоянные А и р не зависят от времени. В линейных цепях свободные состав-

ляющие затухают во времени по указанному показательному закону. Показатели за-

тухания р одинаковы для свободных токов всех ветвей, так как вся цепь охвачена общим переходным процессом. Постоянная интегрирования А для каждого свобод-

ного тока своя.

Производная от свободного тока равна:

То есть, производную от свободного тока можно заменить на рiCB.

Найдём интеграл от свободного тока:

ò iCBdt = ò Ae pt dt = Ae pt / p = iCB / p .

То есть, интеграл от свободного тока можно заменитьна iCB/р. Постоянная интегрирования взята равной нулю, так как свободные составляющие не содержат

не зависящих от времени слагаемых.

Переход от линейных дифференциальных уравнений для свободного тока к алгебраическим уравнениям называют алгебраизациейдифференциальных

уравнений для свободных токов.

Уравнение для параметра р, в котором этот параметр является единствен-

ным неизвестным, и с правой частью, равной нулю, называют характеристиче-

ским уравнением. Число корней характеристического уравнения равно степени

этого уравнения.

Уравнение первой степени имеет всегда отрицательный действительный

(не мнимый и не комплексный) корень.

Уравнение второй степени может иметь:

а) два действительных неравных отрицательных корня;

б) два действительных равных отрицательных корня;

в) два комплексно-сопряжённых корня с отрицательной действительной - ча стью.

Уравнение третьей степени может иметь:

а) три действительных неравных отрицательных корня;

б) три действительных отрицательных корня, из которых два равны друг другу;

в) три действительных равных отрицательных корня;

д) один действительный отрицательный корень и два комплексно-сопряжённых с отрицательной действительной частью.

При отрицательных знаках действительных частей корней характеристи-

ческих уравнений свободный процесс происходит в цепи, освобождённой от ис-

точника ЭДС. Свободные токи обязательно затухают в связи с тепловыми потеря-

ми.

Когда характеристическое уравнение имеет один корень, свободный ток

будет:

iСВ = Ae pt = Ae-at ,

где р = –a и А – зависят от параметров цепи.

За интервал времени t = t = 1/a функция уменьшится в е = 2,72 раза (at = at

= a/a = 1; и e-at = e-at = e-1 = 1 / e = 1 / 2 ,72 ), рисунок 8.8.

t t t

Рисунок 8.8 – Свободный процесс при одном отрицательном корне

Величину t = 1 / a = 1 / p называют постоянной времени цепи (зависит

от вида и параметров схемы). Этот термин отражает постоянство касательной к экспоненте. Подкасательная к экспоненте е–t/t численно равна t.

При двух действительных неравных корнях(р1 = –а и р2 = –b) свободный ток будет:

iСВ = A1e p1t + A2e p2t = A1e-at + A2e-bt .

В зависимости от соотношения корней характеристического уравнения и значений постоянных интегрирования А1 и А2, характер изменения свободного тока отражён на рисунке 8.9.

t

Рисунок 8.9 – Свободный процесс при двух отрицательных неравных корнях

Известно, что если среди корней характеристического уравнения есть два

равных корня р1 = р2 = –a, то соответствующие слагаемые решения берут в виде:

iСВ = A1e pt + A2te pt = ( A1 + A2t )e-at .

На рисунке 8.10 показаны пять кривых, отражающих поведение свободного тока при различных значениях постоянных интегрирования и при равенстве нулю одной из них.

А1 и А2 больше нуля

А1 = 0 и А2 > 0

А1 > 0 и А2 = 0

А1 > 0 и А2 < 0

Рисунок 8.10 – Свободный процесс при двух отрицательных равных корнях и раз-

личных значениях постоянных интегрирования, а также при равенстве нулю одной из них

При двух комплексно-сопряжённых корняххарактеристического уравнения

(p1 = a + jw0; p2 = a – jw0) соответствующее им слагаемое решения берётся в виде:

iСВ = Ae-at sin( w0t + j ).

Это затухающее синусоидальное колебание (рисунок 8.11) с угловой часто-

той свободных колебаний w0 и начальной фазой j. Огибающая колебания описы-

вается кривой Ae-at .

Рисунок 8.12 – Свободный процесс при двух комплексно-сопряжённых корнях и не-

равенстве частот w0 и w

Второй случай – частоты указанных сигналов равны, – тогда результи-

рующее колебание имеет вид, показанный на рисунке 8.13.

t

Рисунок 8.13 – Свободный процесс при двух комплексно-сопряжённых корнях и ра-

венстве частот w0 и w