Лекции / ЛЕКЦИЯ8_09

8 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ. АНАЛИЗ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА В ЦЕПЯХ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА.

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД ДЛЯ РАСЧЁТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

8.1 Переходные процессы во временной области

В реальной действительности условия стационарных процессов в цепях никогда не выполняются. Любое непериодическое изменение вида воздействия

или изменение параметров цепи приводит к нарушению стационарности - ре

жима.

Рассмотрим с качественной точки зрения явления, возникающие в линей-

ных цепях при переходе от одного стационарного состояния к другому.

При наличии реактивных(энергоёмких) элементов переход цепи к новому стационарному состоянию сопровождается появлением так называемых пере-

ходных процессов.

Эти процессы – частный случай более общих неустановившихся (нестацио-

нарных) процессов, возникающих при произвольном непериодическом воздейст-

вии, а также при произвольном непериодическом изменении параметров цепи.

Это связано с особенностями изменения энергии электромагнитного поля в реактивных элементах: энергия поля в индуктивностях и емкостях не может

меняться мгновенно.

Первый закон коммутации: потокосцепление и ток через индуктивность не

могут измениться скачком, их значение в первый момент после коммутации равно их значению в последний момент перед коммутацией.

Второй закон коммутации: заряд и напряжение на емкости не могут изме-

ниться скачком, их значение в первый момент после коммутации равно их зна-

чению в последний момент перед коммутацией.

Изменение энергии за единицу времени представляет собой мощность, от-

даваемую или потребляемую соответствующим элементом:

Классическая теория электричества (в отличие от квантовой теории) не до-

пускает, что энергия меняется скачком – так как при этом производная обраща-

ется в бесконечность, и мощность принимает бесконечно большое значение.

То есть, в цепи с реактивными элементами величины, определяющие запас энергии, при переходе к новому стационарному состоянию должны меняться во времени плавно, без скачков. То есть, выходной ток или напряжение будут от-

личаться по форме от внешнего воздействия.

Теоретически переходные процессы имеют бесконечно большую продол-

жительность. В действительности значения напряжения и тока в цепи по ис-

течении конечных промежутков времени становятся близкими к установив-

шимся значениям.

Анализ процессов в линейной цепи основан на решении уравнений Кирх-

гофа для мгновенных напряжений и токов на элементах. Они сводятся к линей-

ному неоднородному дифференциальному уравнению с постоянными коэффици-

ентами.

При расчёте отклика в переходном режиме необходимо вводить начальные

условия.

Различают независимые и зависимые начальные условия.

Независимые начальные условия– это значения токов в индуктивностях iL(0–) и напряжений на емкостях uС (0–), которые определяются исходя из законов коммутации, для схемы до коммутации при t = 0–.

Зависимые начальные условия – это все остальные токи и напряжения в

схеме, которые определяются из расчета схемы после коммутациипри t = 0+

при уже известных независимых начальных условиях – iL(0–) и uС (0–).

При расчете зависимых начальных условийиндуктивность заменяют ис-

точником постоянного тока IL = iL(0–) = iL(0+), направление которого совпадает с направлением тока iL.

Ёмкость заменяется источником постоян

ЕС = uС(0–) = uС(0+), направление которой противоположно току заряда емко-

сти iС.

Для определения независимых и зависимых начальных условий можно исполь-

зовать любой известный метод расчета(метод контурных токов, узловых потенциа-

лов, принцип наложения, законы Кирхгофа).

Вынужденные составляющие напряжения и тока – это их значения в устано-

вившемся режиме после коммутации. Рассчитываются в схеме после коммутации

любым методом.

Для расчёта переходных процессов наиболее часто используют классический

метод решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициента-

ми.

Решение ищут в виде суммы двух функций:

y(t) = y1(t) + y2(t),

где y1 – частное решение исходного уравнения;

y2 – общий интеграл однородного дифференциального уравнения.

Функция y1(t), удовлетворяющая дифференциальному уравнению с правой ча-

стью, непосредственно зависит от внешнего воздействия, то есть представляет

собой ВЫНУЖДЕННЫЙ режим, задаваемый в цепи внешним источником.

Общее решение однородного дифференциального уравнения, т. е. функция y2(t), характеризует явления, обусловленные изменением начального энергети-

ческого состояния цепи в отсутствие вынужденного воздействия. Эти явления

называют собственными или СВОБОДНЫМИ процессами.

То есть, переходной процесс представляет собой совокупность свободной и вынужденной составляющих токов и напряжений, которые должны быть связа-

ны между собой посредством начальных условий.

Начальный запас энергии в реактивных элементах всегда ограничен, и при наличии потерь собственные процессы с течением времени затухают, и при t

® ¥ в цепи будет только вынужденный режим.

8.2 Классический метод расчета переходных

в цепях синусоидального тока (линейных цепях первого порядка)

Цепь первого порядка это цепь, которая после коммутации содержит одну емкость или одну индуктивность, характеризуется дифференциальным уравне-

нием первого порядка и имеет один корень характеристического уравнения.

Рассмотрим расчет переходного процесса в таких цепях на конкретном приме-

ре. Значительный практический интерес представляют нестационарные явления во

времени, например, возникающие при заряде и разряде емкости.

Предположим, что цепь на рисунке 8.1 в момент t = 0 подключается к источ-

нику внешнего напряжения. Напишем для этой цепи второй закон Кирхгофа:

r

C e(t)

Рисунок 8.1 – Заряд ёмкости через сопротивление

или:

Полученное равенство представляет собойлинейное дифференциальное

уравнение первого порядка с неизвестной функцией uС.

Общее решение уравнения можно записать в виде суммы СВОБОДНОЙ uСВ и

ВЫНУЖДЕННОЙ иВ составляющих напряжения:

где tЦ = rC – постоянная времени цепи rС.

Рассмотрим некоторые примеры переходных процессов приpaзличных

формах внешнего воздействия.

ВКЛЮЧЕНИЕ В ЦЕПЬ rС ПОСТОЯННОГО НАПРЯЖЕНИЯ (заряд емко-

сти через сопротивление).

Если цепь rС подключается к источнику постоянного напряженияUО,

функция е(t) имеет вид скачка напряжения.

Величина иВ в этом случае должна быть равна внешнему напряжению UО,

так как при t ® µ емкость заряжается до напряжения источника питания.

Следовательно,

Для определения постоянной интегрированияА введем начальные усло-

вия.

Так как значение энергии, запасённой конденсатором не может изменяться во времени скачками, то напряжение на ёмкости при любом конечном измене-

нии воздействия должно изменяться во времени непрерывным образом. Поэтому

можно утверждать, что напряжение на емкости при скачкообразном изменении внешнего воздействия от НУЛЯ до U0 остается неизменным.

Всоответствии с этим будем иметь uС(0+) = uС(0–) = 0, откуда вытекает, что

А= –U0.

Таким образом, при t ³ 0:

Из последнего выражения видно, что напряжение на ёмкости в процессе

заряда возрастает по экспоненциальному закону, стремясь к величине U0 (ри-

сунок 8.2).

Рисунок 8.2 – Переходной процесс в rC цепи при включении постоянного на-

пряжения

Скорость заряда емкости зависит от постоянной временя цепи: чем больше величина емкости и активного,

определяющих tЦ, тем медленнее растет напряжение uС.

Ток

с течением времени убывает по экспоненте, направление его совпадает с выбран-

ным при составлении дифференциального уравнения условно положительным -на правлением.

Аналогично изменяется и напряжение на активном сопротивлении:

В момент включения источника питания значение иr изменяется скачком от

нуля до максимума. График изменения иr(t) изображен на рисунке 8.2. Здесь же по-

казана кривая uСВ(t).

Во время переходного процесса в емкости происходит непрерывное накоп-

ление электрической энергии, которая при t®µ достигает величины

WСmax = CU02/ 2.

Одновременно часть энергии, отдаваемой источником питания, расходуется в активном сопротивлении. Причем энергия, теряемая в сопротивлении, равна энер-

гии, запасаемой в емкости.

Если напряжение на емкости к моменту включенияравно UН, начальные

условия должны быть записаны в виде:

UС (0+) = UС(0–) = UН .

В этом случае напряжение uС определяется формулой:

Таким образом, в цепи первого порядка свободная составляющая имеет

вид:

iСВ ( t ) = Ае р t ,

т. е. выражается экспоненциальной зависимостью, крутизна которой определяется

р – корнем характеристического уравнения(показателем степени экспоненты).

Постоянную А называют постоянной интегрирования.

Можно отметить, что величина р (или tЦ) зависит от пассивных элементов схе-

мы (R, L и C) и характеризует длительность переходного процесса в конкретной це-

пи. В цепи первого порядка р всегда отрицательно.

Это означает, что изменяющиеся во время переходного процесса токи и на-

пряжения стремятся к своему устойчивому состоянию, и переходный процесс затухает.

Алгоритм расчета переходного процесса классическим м

в цепи первого порядка следующий.

1 Для схемы до коммутации определяются независимые начальные условия.

2 Для схемы после коммутацииопределяются зависимые начальные усло-

вия.

3 Для схемы после коммутации определяются вынужденные составляющие.

4 Для схемы после коммутациипо методу входного сопротивления опреде-

ляется корень р характеристического уравнения: определяют полное комплекс-

ное сопротивление цепи после коммутации, считая сопротивление индуктивности

xL = jw L , а сопротивление емкости xС = 1 jwС , осуществляют замену jw на p и

приравнивают Z(p) = 0. Входное сопротивление Z(p) может быть определено отно-

сительно любой ветви схемы. При определении Z(p) источники ЭДС в схеме зако-

рачиваются (внутреннее сопротивление идеальной ЭДС равно нулю), а источники тока – размыкаются (внутреннее сопротивление идеального источника тока равно бесконечности).

5 Определяются постоянные интегрирования для тока или для напряже-

ния: А = i( 0+ ) - iВЫНУЖД ( 0 ) ; B = u( 0+ ) - uВЫНУЖД ( 0 ).

6 Записывается окончательный результат в виде:

i( t ) = iВЫНУЖД ( t ) + Ae pt , или u( t ) = uВЫНУЖД ( t ) + Be pt .