UPOS3 / Раздел5

5. ИНТЕГРАТОРЫ

Наиболее часто используется простейший интегратор, показанный на рис. 5.1 [3, с. 93-100]. Его передаточная функция W(p) = -1/(pR₁C₁): выходное напряжение равно интегралу по времени от входного напряжения (с обратным знаком), а постоянная времени τ₁ = R₁C₁. Идеальное интегрирование возможно только при идеальном ОУ.

Рис. 5.1. Простейший интегратор на ОУ

Учитывая реальные коэффициент усиления ОУ К₀ и его входное сопротивление r₀ , а также что r₀ >> R₁ и К₀ >> 1, имеем:

. (5.1)

Реальный интегратор - инерционное звено 1-го порядка с коэффициентом усиления К₀ и эквивалентной постоянной времени τ_Э = К₀­R₁C₁. Реакция интегратора на скачок входного напряжения определяется:

где U_вых0­ -начальное выходное напряжение, при t = 0.

То есть на выходе интегратора будет экспоненциальное напряжение, но с большой постоянной времени τ_э экспоненты.

В ЦИУ обычно задействован интервал времени много меньший значения τ_э, поэтому начальный участок экспоненты мало отличается от прямой линии. Используя разложение показательной функции в степенной ряд (ℓ^α ≈ 1 + α + α²/2, при α << 1) и условии t << K₀τ₁, получим:

(5.2)

Если U_вых0 = 0 , то U_вых(t) = -U_вх(t/₁), то есть (t/τ₁) -эквивалентный коэффициент усиления интегратора K_UЭ, а условие близкого к идеальному интегрированию запишется: K_UЭ << K₀.

Входной ток ОУ i_- и напряжение смещения ℓ_см ведут к дополнительным погрешностям, так как изменяют значения U_вх на величину ℓ_см + ί_-R₁. Обычно ί_- ≈ ί₊ и погрешность за счёт тока ί_- корректируется установкой резистора R­₂ = R₁.

Если U_вх - гармонический сигнал с частотой ω, то погрешность из-за АЧХ интегратора будет мала, при ω >> 1/τ_э (реализация ФВЧ). Но при слишком больших значениях ω сказывается инерционность ОУ, а также из-за уменьшения сопротивления конденсатора С1 уменьшается коэффициент усиления интегратора и шунтируется выходное сопротивление ОУ R_вых. Полагая ОУ эквивалентным по динамическим свойствам инерционному звену первого порядка с постоянной времени τ_у, т.е. K(p) = K₀/(1 + pτ_у), и приняв условия τ_вых = r_выхС₁; К₀ >> 1; τ₁ >> τ_вых; К₀τ₁ >> τ_у , получим для такого интегратора:

(5.3)

Второе слагаемое этого выражения соответствует неидеальному дифференцирующему звену с коэффициентом передачи τ_вых/τ₁ и постоянной времени τ_у/K₀, а третье слагаемое соответствует инерционному звену с постоянной времени τ_у и коэффициентом передачи (τ_вых+τ_у)/К₀τ₁. При нулевых начальных условиях и скачке напряжения на входе, выходное напряжение реального интегратора описывается выражением (5.4) и представлено на рис. 5.1.

(5.4)

Отличие реального интегратора от идеального велико в начальный период времени, при t < τ_у/К₀ , так как ОУ из-за своей инерционности не может отработать изменение U_вх и выходное напряжение измеряется под воздействием части входного, прошедшего через элементы R₁ и C₁. Через несколько постоянных времени (τ_у/К₀), напряжение на выходе реального интегратора изменяется как у идеального, то есть отстаёт от времени из-за задержки срабатывания ОУ. Так как скорость изменения выходного напряжения определяется К₀U_вх/τ_э = U_вх/τ₁, а сдвиг уровня выходного сигнала равен U_вх(τ_вых + τ_у)/К₀τ­₁, то время отставания определяется выражением: (5.5)

Для коррекции запаздывания последовательно с С1, можно включить дополнительный резистор R_д , снижающий указанные выше эффекты:

(5.6)

Как правило, задержкой Δt₁ пренебрегают вследствие её малости.

В выражении (5.4) инерционность ОУ отражена отношением τ_у/К₀ , что справедливо до тех пор, пока ОУ работает на линейном участке амплитудной характеристики: изменением входного сигнала ОУ не введён в насыщение из-за наличия τ_у и τ_вых - постоянных времени запаздывания сигнала ООС, и замкнутый контур ОУ-ООС не разомкнут. Иначе время переходного процесса определяется величиной τ_у­, а не τ_у/К₀.

В реальных интеграторах в цепь ООС вводят резистор сопротивлением порядка 10 МОм параллельно С1 для компенсации влияния входных токов ОУ: если конденсатор зарядится входным током, интегратор перестаёт работать.

Расчёт погрешностей интегратора, как и других цепей ЦИУ на основе ОУ, хорошо изложен в [17, c.59 –77]. Здесь дана оценка статической погрешности, обусловленной не идеальностью внешних элементов, не идеальностью ОУ и динамических погрешностей.22

В тех узлах ЦИУ, где требуется интегрирование алгебраической суммы нескольких напряжений, - или вначале суммируются сигналы и далее устанавливается одновходовой интегратор, или сразу строится многовходовой интегратор. В суммирующем интеграторе входные сигналы подаются на интегратор через отдельные резисторы, включаемые, как и резистор R1 на рис. 5.1. Интеграл от разности двух напряжений удобно получать с помощью схемы, показанной на рис. 2.21 [3, с. 98–99], в которой использованы интегратор и дифференциальный усилитель, усиливающий напряжение, снимаемое с конденсатора, входящего в схему интегратора. При R₂ = R₁, R₆ = R₄, R₇ = R₅ и R₃ = R₄ + R_5, для выходного напряжения можно получить:

. (5.7)

При равенстве R₆ = R₄ и R₇ = R₅ передаточные функции для входных напряжений будут соответствовать передаточным функциям инвертирующего и не инвертирующего интегралов, а изменение сопротивлений R­₁ - R₃ вызовут изменения постоянных интегрирования.

Различные варианты схем интеграторов рассмотренных в [3, с. 99, 65–74] могут быть образованы включением конденсатора вместо нагрузки преобразователей напряжения в ток, в частности, когда конденсатор имеет заземлённый зажим, что облегчает введение в интегратор требуемых начальных условий. Различные варианты построения более сложных специальных схем интеграторов приведены в [15, с. 108–116]. Для ЦИУ актуален интегратор с автоматическим сбросом, рис. 5.2.

Рис. 5.2. Интегратор с автоматическим сбросом

Транзисторы VT1, VT2 позволяют уменьшить ток утечки ключа сброса относительно схемы с одним транзистором: напряжение U_сиVT1 в разомкнутом состоянии равно u_выхR₂/r_разомк и ток утечки между стоком-истоком VT1 будет меньше в r_разомк /R₂ раз, чем в схемах, где в качестве ключа используется один полевой транзистор. В схеме на DA2 построен компаратор с положительной обратной связью (ПОС) и гистерезисом передаточной характеристики. Когда u_вых достигает величины [u₁+(n-1)u_ст]n переключается выходное выходное состояние DA2 и VT1, VT2 открываются. Вследствие этого напряжение u_вых изменяется с постоянной времени r_выхDA2C и стремится к величине, равной [u₁-(n-1)u_ст]/n. Когда u_вых достигает этого значения, выход DA2 возвращается в исходное состояние, VT1 и VT2 закрываются, и продолжается интегирование u­_вх: [u_вых = -(1/R₁C)u_вхdt]. Диапазон изменения выходного напряжения можно регулировать соотношением сопротивлений резисторов в цепи ПОС R₃ и R₃(n-1). R4 определяет требуемый ток стабилизации стабилитрона, не превышающий выходной ток DA2.