Основные законы алгебры логики
Сложение
x v 0 = x
x v 1 = 1
x v x = x
x+x1+…= x
Умножение
x*0 = 0
x*1 = x
x*x = x
x*x*x…= x
ФАЛ от прямых и инверсных значений переменных
x v = 1
= x
x* = 0
Переместительный закон
x1 v x2 = x2 v x1
x1*x2 = x2*x1
Сочетательный
x1 v (x2 v x3) = (x1 v x2) v x3
x1*(x2*x3) = (x1*x2)x3
Распределительный
x1*x2 v x1*x3=x1*(x2 v x3)
(x1 v x2)(x1 v x3)=x1x1 v x1x3 v x1x2 v x2x3 = x1 v x1x3 v x1x2 v x2x3 = x1(1 v x3 v x2) v x2x3 = x1 v x2x3
Законы отрицания (законы де Морана)
1 v 2 = 1* 2
1* 2= 1 v 2
x1 |
x2 |
x1*x2 |
1 2 |
1 |
2 |
1+ 2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Для того что бы найти схему инверсную заданной нужно все фронтовые контакты заменить тыловыми, все тыловые – фронтовыми, все последовательно соединённые – параллельными и наоборот.
1
v
2
v
…
n
=
i=
i
конъюнкция инверсных значений от 100 n
1
2
…
n
=
1
v
2
v
n
=
*
i
=
i
инверсия от конъюнкции 1001 = дизъюнкции
переменных значений от 1001
Пример:
1. 1+ 2= 1* 2
2. 1* 2= 1+ 2
Формулы поглощения
а) x1 v x2 v x1x2x3 v x1x2…xn = x1
x1(1
v
x2
v
x2x3
v
…x2…xn)=x1*1=x1
б) x1(x1 v x2)(x1 v x3)…(x1 v xn) = x1
в)
x1(
1
v
x2)=x1
1
v
x1x2=x1x2
Формулы склеивания
1) x1x2 v x1 2=x1(x2 v 2)=x1
Пример:
Записать произведение заданное следующим набором
1000<x1x2x3x4>=
=x1
2
3
4
5< x1x2x3x4>0101 x1x2x3x4 = 1x2 3x4
Полное число конъюнкции(произведений) от n переменных = полному числу наборов.
x1 |
x2 |
x3 |
^ |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
2 |
x3 |
Так как каждой конъюнкции соответствует одно двоичное число то полное число конъюнкции = числу двоичных чисел тоесть 2.
Алгоритм перехода от функции заданной таблицей истинности к алгебраической форме записи ДСНФ (дизъюнктивная совершенно нормальная форма)
1. По таблице истинности определяются те наборы входных переменных, на которых значение функции равно 1.
2. Записав произведение (конъюнкции) всех входных переменных которым соответствует единые наборы. Если значение в наборе = 10, то значение инверсное, если 1 – прямое
3. Все произведения (конъюнкции) соединяются знаком дизъюнкции (логическое сложение)
x1 |
x2 |
f |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
fдснф= 1 2 v x1 2 v x1x2
fдснф=x2( 1 v 1) v x1 2=x2 v x1 2=x2 v x1
Алгоритм перехода к аналитической форме записи в виде КСНФ.
Определите наборы входных переменных на которых значение функции = 0
Заменив дизъюнкцию для каждого набора аргумента по правилу (если значение переменной = 0, то прямое значение = 1: Если значение = 1, то инверсное значение = 0)
Все дизъюнкции аргументов соединяются знаками конъюнкции (логическое умножение)
x1 |
x2 |
f |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
fдснф= x1 2
fкснф=(x1 v x2)( 1 v x2)( 1 v x2)=(x1x1 v x1 2 v x2x1 v x2 1)( 1 v 2)=x1(1 v 2 v x2)( 1 v 2)=x1( 1 v 2)=x1 1 v x1 2 = x1 2
x1*f(x1 1…xn n)=x1*f(1;0;…xn, n)
Если последовательно со схемой включения контакт x1, то все одноименные контакты можно закоротить, а инверсные оборвать.
f=(x1*x2 v 1x3)x1=x1*x2 v x1 1x3=x1x2
ДНФ называется такая функция ФАЛ когда функция представляет сумму входящих переменных, но в отличии от ДСНФ произведения некоторых переменных могут отсутствовать.
Алгоритм перехода от ДНФ к ДСНФ определяют те слагаемые в которых есть отсутствующие переменные затем эти слагаемые домножаются на прямое и инверсное значение недостающих переменных раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые.
fднф= x1 x2 v x1 x3
fдснф= x1 x2 (x3 v 3 ) v x1 x3 (x2 v 2 )= x1 x2 x3 v x1 x2 3 v x1 x2 x3 v x1 x2 x3 v x1 2 x3= x1 x2 x3 v x1 x2 3 v x1 2 x3
Если в параллельную схему включен контакт x1, то все одноименные контакты можем оборвать, а инверсные закоротить.
f=x1vx1x2v 1x3=x1(1vx2)v 1x3=x1v 1x3=x1vx3
КНФ (конъюнктивная нормальная форма) – ФАЛ называется такая запись функции, когда она представляет собой произведение сумм, когда в каждый сомножитель могут входить не все переменные.