13. Поиск экстремума функции нескольких переменных. Метод случайного поиска с возвратом при неудачном шаге: стратегия поиска и алгоритм.

Стратегия поиска

Задается начальная точка x⁰. Каждая последующая точка находится по формуле

x^k⁺¹= x^k+ t_kξ^k

Где t_k > 0 – величина шага; x^k – случайный вектор единичной длины, определяющий направление поиска; k– номер итерации. На текущей итерации при помощи генерирования случайных векторов x^k получаются точки, лежащие на гиперсфере радиуса t_k с центром в точке x^k (рисунок 2). Если значение функции в полученной точке не меньше, чем в центре, шаг считается неудачным (точки y¹, y² при поиске

из x⁰; y¹, y², y³ при поиске из x¹), происходит возврат в текущий центр и поиск продолжается. Если число неудачных шагов из текущей точки достигает некоторого числа М, дальнейший поиск продолжается из той же точки, но с меньшим шагом до тех пор, пока он не станет меньше заранее заданной величины R. Если же значение функции в полученной точке меньше, чем в центре, шаг считается удачным и дальнейший поиск продолжается из этой точки.

Алгоритм

Рисунок 2

Шаг 1. Задаем начальную точку x⁰, коэффициент сжатия 0<b<1, M – максимальное число неудачно выполненных испытаний на текущей итерации, t₀ = 1 – начальную величину шага, R – минимальную величину шага, N – максимальное число итераций. Полагаем k=0, j=1.

Шаг 2. Получаем случайный вектор где x_i^j – случайная величина, равномерно распределенная на интервале [–1, 1].

Шаг 3. Вычисляем

Шаг 4. Проверяем выполнение условий

а) если f(y^j) < f(x^k), шаг удачный. Полагаем x^k⁺¹ = y^j, t_k₊₁ = t_k, k=k+1 и проверяем условие окончания. Если k<N, полагаем j=1 и переходим к шагу 2. Если k=N, поиск завершаем: x^* ≈ x^k;

б) если f(y^j) ≥ f(x^k), шаг неудачный и переходим к шагу 5.

Шаг 5. Оцениваем число неудачных шагов из текущей точки:

а) если j<М, полагаем j= j + 1 и переходим к шагу 2;

б) если j=М, проверяем условие окончания:

- если t_k≤ R, процесс заканчивается: x^* ≈ x^k, f(x^*) ≈ f(x^k);

- если t_k> R, полагаем t_k= bt_k, j=1 и переходим к шагу 2.

14. Поиск экстремума функции нескольких переменных. Метод наилучшей пробы: стратегия поиска и алгоритм.

_{Задается
начальная точка х°. Каждая последующая
точка находится по формуле:}

x^k⁺^l = х^к + t_k ξ^к

где t_k > 0 - величина шага; ξ^к - случайный вектор единичной длины, определяющий направление поиска; k - номер итерации. На текущей итерации при помощи генерирования случайных векторов ξ* получается M точек у^х,...,у^м, лежащих на гиперсфере радиуса t_k с центром в точке х^к в соответствии с рисунком 3. Среди полученных точек выбирается точка у^т, в которой значение функции наименьшее. Если в выбранной точке значение функции меньше, чем в центре, то дальнейший поиск продолжается из этой точки. Иначе поиск продолжается из старого центра, но с меньшим шагом до тех пор, пока он не станет меньше заранее заданной величины R.

Рисунок 3 - Гиперсфера полученная в результате применения данного метода

Алгоритм:

Шаг 1. Задать начальную точку , коэффициент сжатия , M - число испытаний на текущей итерации, =1 - начальную величину шага, R - минимальную величину шага, N - максимальное число итерации. Положить k = 0, j = 1.