1) Найти решение графическим методом;

2) Написать функцию Лагранжа данной задачи и найти ее седловую точку, используя решение задачи, полученное графически.

8х.	,

Решение. 1) найдем решение графическим методом.

Система неравенств определяет область D допустимых значений, ограниченную тремя прямыми и координатными осями. График целевой функции  представляет собой окружность переменного радиуса с центром в точке P (6 , 7) (линии уровня целевой функции). Значение целевой функции графически представляет собой квадрат радиуса этой окружности. Минимальным радиусом, удовлетворяющим системе ограничений, будет такой радиус, который обеспечивает касание окружности с границей области так, как это показано на рисунке. Точка М ( 4 ; 3 ) – точка входа линий уровня целевой функции в область D, поэтому _min(М) =

Искомая точка M определяется при решении системы уравнений:

В этой системе 1-е уравнение определяет прямую (2), а 2-е – прямую, проходящую через точку P перпендикулярно прямой (2).

2) Запишем задачу в стандартном виде:

Функция называется функцией Лагранжа, а переменные - коэффициентами Лагранжа.

Точка S называется седловой точкой функции Лагранжа, если для любых выполняются неравенства:

(*)

Если функции дифференцируемы, то условия, определяющие седловую точку (условия Куна-Таккера) следующие:

Найдем седловую точку s( x10, x20, 10 , 20, 30 ) , используя решение задачи, полученное графически. Графически получено оптимальное решение в точке м (4 ; 3 ) поэтому

S( 4 , 3 , ₁⁰ , ₂⁰, ₃⁰ ).

Для вычисления ₁⁰ , ₂⁰, ₃ запишем функцию Лагранжа F(x,).

F(x,)= +₁( ) +

+ ₂( ) +

+ ₃( )

Локальные условия Куна-Таккера:

Подставим и в 1-е и 2-е уравнения:

Седловая точка функции Лагранжа: S .

Проверим условия cедловой точки:

Условия (*) выполнены.

Ответ: S – седловая точка.

91 - 100. Для двух предприятий выделено единиц средств. Как распределить все средства в течение 4 лет, чтобы доход был наибольшим. если известно, что доход от x единиц, вложенных в первое предприятие, равен , а доход от единиц, вложенных во второе предприятие, равен . Остаток средств к концу года составляет для первого предприятия и - для второго предприятия. Решить задачу методом динамического программирования.

№ зад.
100.	1000	3	0,6	4	0,4

Решение. Процесс распределения средств разобъем на 4 этапа – по соответствующим годам.