Математическое программирование
61 - 70. Для производства двух видов изделий А и В используются три типа технологического оборудования. Для производства единицы изделия А оборудование первого типа используется в течении а1 ч, оборудование второго типа - а2 ч, оборудование третьего типа - а3 ч. Для производства единицы изделия В оборудование первого типа используется в течение b1 ч, оборудование второго типа - b2 ч, оборудование третьего типа - b3 ч. На изготовление всех изделий предприятие может использовать оборудование первого типа не более чем t1 ч, оборудование второго типа - не более чем t2 ч, оборудование третьего типа - не более чем t3 ч. Прибыль от реализации единицы готового изделия A составляет денежных единиц, а изделия В - денежных единиц. Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации. Решить задачу симплексным методом путем преобразования симплекс-таблиц. Дать геометрическое истолкование задачи, используя для этого её формулировку с ограничениями-неравенствами
№ зад. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x |
1 |
3 |
3 |
2 |
3 |
1 |
32 |
60 |
50 |
4 |
2 |
Решение. Запишем условие в виде удобном для составления математической модели задачи.
-
A = x1
B = x2
Ресурсы
а1 =1
b1 =2
t1 =32
а2 =3
b2 =3
t2 =60
а3 =3
b3 =1
t3 =50
Прибы-ль
=4
=2
Пусть x1 , x2 - план производства изделий A и B, тогда из условия получим:
x1 + 2 x2 32
3x1 + 3x2 60
3x1 + x2 50
xi 0, i = 1,2.
F = 4x1 + 2x2 (max).
Перейдем к равенствам с помощью дополнительных (неотрицательных) переменных:
x1 + 2x2 + x3 = 32
3x1 3x2 + x4 = 60
3x1 x2 + x5 = 50
xi 0, i = 1,2,3,4,5.
F – 4x1 – 2 x2 = 0 (max).
Запишем данные в симлекс-таблицу:
x1 x2 x3 x4 x5 с. ч. б.п.
-
1
3
3
2
3
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
32
60
50
x3
x4
x5
– 4
– 2
0
0
0
0
0
0
1
5/3
2
1/3
1
0
0
0
1
0
– 1/3
– 1
1/3
46/3
10
50/3
x3
x4
x1
0
2/3
0
0
– 4/3
200/3
0
0
1
0
1
0
1
0
0
– 5/6
0,5
– 1/6
0,5
– 0,5
0,5
7
5
15
x3
x2
x1
0
0
0
– 1/3
– 1
70
Первое базисное решение B1( 0, 0, 32 , 60 , 50 ) не является оптимальным в задаче максимизации, так как в строке целевой функции есть отрицательные элементы – 4
и – 2 .
Выбираем положительный разрешающий элемент:
1 =min( 32/1 ; 60/3; 50/3 ) = 50/3 , 2 = min( 32/2 ; 60/3; 50/1 ) = 32/2
max(j
a0j
) =
max( 50/3
4; 32/2
2 ) = 50/3
4
Разрешающий элемент равен 3.
Пересчитываем элементы по правилу прямоугольника
aij ………………. aij . …………………… ……………………. ai j ……………………….. aij
|
Новое базисное решение B2( 50/3 , 0 , 46/3 , 10 , 0 ) не является оптимальным в задаче максимизации, так как в строке целевой функции есть отрицательный элемент – 4/3.
Разрешающий элемент 1/3 . Далее пересчитываем все элементы.
Новое базисное решение B3( 15 , 5 , 7 , 0 , 0 ) является оптимальным в задаче
максимизации, так как в строке целевой функции нет отрицательных элементов.
Проверим Fmax(B3 ) = 15· 4 + 5 · 2 = 70